资源描述
[基础达标]
1．(2021·高考江苏卷) 如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC．求证：AC＝2AD．
证明：连接OD．由于AB和BC分别与圆O相切于点D，C，
所以∠ADO＝∠ACB＝90°.
又由于∠A＝∠A，
所以Rt△ADO∽Rt△ACB．
所以＝.
又BC＝2OC＝2OD，
故AC＝2AD．
2. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆，求证：AG·GF＝DG·GE.
证明：连接EF，∵B，C，F，E四点共圆，
∴∠ABC＝∠EFD．
∵AD∥BC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°.
∴∠BAD＋∠EFD＝180°.
∴A，D，F，E四点共圆．
∵ED交AF于点G，
∴AG·GF＝DG·GE.
3. (2022·江苏常州调研)如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E.
求证：DE2＝DB·DA．
证明：连接OF(图略)．∵DF切⊙O于F，∴∠OFD＝90°.
∴∠OFC＋∠CFD＝90°.
∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC．
∵CO⊥AB于O，∴∠OCF＋∠CEO＝90°.
∴∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，∴DF＝DE.
∵DF是⊙O的切线，∴DF2＝DB·DA．
∴DE2＝DB·DA．
4. 如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.
(1)求∠DAC的度数；
(2)求线段AE的长．
解：(1)由已知△ABC是直角三角形，易知∠CAB＝30°.
由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°.
由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，知∠DCA＝60°，
故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.
(2)法一：连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，
则Rt△ABE≌Rt△BAC，
所以AE＝BC＝3.
法二：连接EC，OC，如图(2)所示，
则由弦切角定理知，
∠DCE＝∠CAE＝30°.
又∠DCA＝60°，
故∠ECA＝30°.
又由于∠CAB＝30°，
故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO.
由OC⊥l，AD⊥l，
可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形．
又由于OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，
故AE＝AO＝3.
[力气提升]
1. 如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，⊙O的割线AE，CD，CE分别交⊙O于点D，F，G，已知AC＝AB．求证：FG∥AC．
证明：∵AB为切线，AE为割线，∴AB2＝AD·AE.
∵AC＝AB，∴AD·AE＝AC2.
∴＝，
又∠EAC＝∠DAC，∴ADC∽△ACE，
∴∠ADC＝∠ACE，又∠ADC＝∠EGF，
∴∠EGF＝∠ACE，∴FG∥AC．
2. (2022·河南郑州市质检)如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.
(1)求证：C，D，E，F四点共圆；
(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．
解：(1)证明：连接DB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
在Rt△ABD与Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE.
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠AFE，
∴C，D，E，F四点共圆．
(2)⇒GH2＝GE·GF.
又∵GH＝6，GE＝4，
∴GF＝9，EF＝GF－GE＝5.
3．(2021·高考辽宁卷) 如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC．
证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB．
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，
从而∠EAB＋∠EBF＝.
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.
从而∠FEB＝∠EAB．
故∠FEB＝∠CEB．
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，
∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，
得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC．
4．(2022·高考辽宁卷)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：
(1)AC·BD＝AD·AB；
(2)AC＝AE.
证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，
得∠CAB＝∠ADB，
同理∠ACB＝∠DAB，
所以△ACB∽△DAB．
从而＝，
即AC·BD＝AD·AB．
(2)由AD与⊙O相切于A，
得∠AED＝∠BAD．
又∠ADE＝∠BDA，
得△EAD∽△ABD．
从而＝，
即AE·BD＝AD·AB．
结合(1)的结论知，AC＝AE.
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