资源描述
[基础达标]
1．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有很多条，不愿定在平面α内
C．只有一条，在平面α内
D．有很多条，确定在平面α内
解析：选C．由线面平行的性质可知C正确．
2．(2022·北京顺义质检)a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β；
④⇒α∥β；⑤⇒α∥a；⑥⇒a∥α.
其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①④⑤
C．①④ D．①③④
解析：选C．①④正确．②错，a、b可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a可能在α内．
3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析：选D．若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排解A．若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排解B．若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排解C．
4. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
解析：选B．由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，∴EF∥平面BCD．又H，G分别为BC，CD的中点，∴HG綊BD，∴EF∥HG且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．
5. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．不存在
B．有1条
C．有2条
D．有很多条
解析：选D．由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有很多条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．
6. 如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是__________．
解析：在平面ABD中，＝，
∴MN∥BD．
又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴MN∥平面BCD．
答案：平行
7．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．
⇒l∥α；②⇒l∥α；③⇒l∥α.
解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l⊄α.
答案：l⊄α
8．已知平面α∥β，P∉α且P∉ β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8则BD的长为________．
图1
解析：如图1，∵AC∩BD＝P，
∴经过直线AC与BD可确定平面PCD．
∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，
β∩平面PCD＝CD，
∴AB∥CD．∴＝，
即＝，∴BD＝.
图2
如图2，同理可证AB∥CD．
∴＝，即＝，
∴BD＝24.
综上所述，BD＝或24.
答案：或24
9. 如图，在四周体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形．
证明：(1)由于D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE∥PC．
又由于DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，
所以DE∥平面BCP.
(2)由于D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，
所以四边形DEFG为平行四边形．
又由于PC⊥AB，
所以DE⊥DG，
所以四边形DEFG为矩形．
10. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图，连接SB，
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB．
又∵SB⊂平面BDD1B1，
EG⊄平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．
又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，
FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
[力气提升]
1. 如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．
(1)求证：AM＝CM；
(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC．
证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1，
∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC．
又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．
在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝PB，
在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝PB，
∴AM＝CM.
(2)连接DB交AC于点F，
∵DC綊AB，∴DF＝FB．
取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM.
又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，
∴DG∥平面AMC．
连接GN，则GN∥MC，
∴GN∥平面AMC．
又GN∩DG＝G，
∴平面DNG∥平面AMC．
∵DN⊂平面DNG，
∴DN∥平面AMC．
2. 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
解：
(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.
连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.
因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.
∴＝，＝.
又∵＝1，
∴＝1，即＝1.
3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图．
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC．
解：(1)证明：由于在正方体ABCDA1B1C1D1中，
AD綊B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D．
又由于C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD．
同理B1D1∥平面C1BD．
又由于AB1∩B1D1＝B1，
AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD．
(2)如图，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
又由于AO1⊂平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连接AC，交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，
则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC．
由于平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，
即A1E＝EF.
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即FC＝EF，
所以A1E＝EF＝FC．
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