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高二数学（理）试题（A）
第Ⅰ卷（选择题部分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上）
1. 下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若,，则 D．若<，则
2．若命题“”为假，且“”为假，则（ ）
A．p或q为假 B．q假 C．q真 D．不能推断q的真假
3．在正方体中，点E为上底面A1C1的中心，若，则x，y的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．在等比数列{an}中，若，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．若不等式有唯一解,则a的取值为（ ）
A．0 B．6 C．4 D．2
6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
7．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题是“若方程没有实数根，则”；
B．“”是“”的充分不必要条件；
C．命题“若，则x，y中至少有一个为0”的否命题是“若，则x，y中至多有一个为0”；
D．对于命题p：，使；则：，均有．
8. 在△ABC中，若，三边为 则的范围是（ ）
A. B. C. D.
9．若直线上存在点(x,y)满足约束条件，则实数m的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．如图，从椭圆上一点P向x 轴作垂线， 垂足恰为左焦点F1,又点A是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题部分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上）
11. 若关于x的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 ．
12. 设变量x，y满足约束条件，则的最大值为 ．
13．已知双曲线C：，点P (2，1) 在C的渐近线上，则C的率心率为
.
14. 已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程为________．
15．若，则的最小值是 .
三、解答题（本大题共6小题，满分75分,须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
16. （本小题满分12分）
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且．
（1）求角C的值；
（2）若，△ABC的面积，求a的值．
A
B
C
A1
B1
C1
B
17. （本小题满分12分）
在直三棱柱中，，，
异面直线与所成的角等于，设．
（1）求a的值；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．
18．（本小题满分12分）
设数列的首项为1，前n项和为Sn，且（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前n项和，求．
19. （本小题满分12分）
已知等差数列的首项，前n项和为Sn，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列{bn}为递增的等比数列，且集合，设数列的前n项和为，求.
20. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，已知点，点B在直线：上运动，过点B与垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）过（1）中轨迹E上的点P (1,2)作两条直线分别与轨迹E相交于，两点．摸索究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
21. （本小题满分14分）
如图，已知椭圆的离心率为 ，F1、F2为其左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△F1AF2的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）；
（3）直线m也过F1与且与椭圆交于C、D两点，且，设线段AB、CD的中点分别为M、N两点，试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
高二数学（理）参考答案（A）
一、选择题：D B A C D C C B B C
二、填空题：
11. 12. 6 13. 14. 15.
三、解答题：
16. 解：（1）∵，
∴， ………4分
∴ ； ………6分
（2）由及， 得
， ………10分
解得 ． ………12分
17．解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
（） …………………………………………1分
B
A1
C
x
y
z
A
B1
C1
∴， ∴ , ……3分
∵异面直线与所成的角60°,
∴
即，……………………5分
又，所以 ；………………6分
（2）设平面的一个法向量为，则
，，即且，
又，，
∴，不妨取， ………8分
同理得平面的一个法向量， ………9分
设与的夹角为，则
， ∴ ， ………11分
∴平面与平面所成的锐二面角的大小为60°． ……12分
18. 解：（1）由 ，-------------------------------①
则 -------------②
①-②得：，即
，得 ，
又 也适合上式， ∴ ． ………………………………6分
（2）， ………9分
∴
． ………12分
说明：由可得，即 ，亦可求得 ．
19. 解：（1）设等差数列的公差为，由成等差数列，得，
即，……………………………………………………..2分
即，解得，∴………….6分
（2）由，即，
∵数列为递增的等比数列，∴，
∴，…………………………………………………..8分
∴ ①
则，
即 ②
①②得
，
即
，
∴……………………………………………………12分
20. 解：（1）依题意，得 ………1分
∴动点M的轨迹E是以为焦点，直线为准线的抛物线，………3分
∴动点M的轨迹E的方程为. …………………………5分
（2）∵P (1,2)，，在抛物线上，
……①
……②
∴
由①-②得， ，
∴直线的斜率为， ……③ ………8分
设直PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，
可设直线PC方程为y-2=k(x-1)，由得：
ky2-4y-4k+8=0,由，求得y1=-2，
同理可求得y2=－- 2…………………………………………………………12分
∴
∴直线CD的斜率为定值 . …………………………………13分
21. 解：（1）设椭圆的半焦距为，则，由题意知 ，
二者联立解得，，则，所以椭圆的标准方程为.….4分
（2）设直线的方程为：，与联立，消，整理得：
，，
，，………………………………………………6分
所以,……7分
（当且仅当，
即时等号成立），所以面积的最大值为…………………….10分
（3）过定点 可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上.
在的状况下，设直线的方程为：，
直线的方程为：，
由（II）得， ，
故 ，即
则……………………………………………………………….12分
可得直线MN的方程：，
即，则
，即，
故直线MN过定点 (或令，即得)
易验证当时，结论仍成立.
综上，直线MN过定点……………………………………………………14分
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