资源描述
阶段性测试题八(平面解析几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·江西赣州市博雅文化学校月考)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] A
[解析] 指数函数y＝3x的图象与椭圆＋＝1有两个交点，∴A∩B中有2个元素，∴其子集有22＝4个．
2．(2022·山东省博兴二中质检)“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若两直线垂直，则3m＋m(2m－1)＝0，∴m＝0或－1，故选A．
3．(文)(2022·银川九中一模)设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B．
C． D．2
[答案] D
[解析] ∵直线AB：y＝x过圆心，∴|AB|＝2，故选D．
(理)(2022·北京西城区期末)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是( )
A．y＝x＋2－ B．y＝x＋1－
C．y＝x－2＋ D．y＝x＋1－
[答案] A
[解析] 由已知得M(－1，－＋1)，又切线斜率为1，故切线方程为y＋－1＝x－＋1，即y＝x＋2－.
4．(2021·洛阳市期中)已知双曲线－＝1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由题意知b2＝ac，
∴c2－a2－ac＝0，
∴e2－e－1＝0，∴e＝或e＝(舍去)．
5．(2021·开封市二十二校联考)已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为( )
A． B．2
C．或2 D．或
[答案] C
[解析] 依据条件可知m2＝9，∴m＝±3，当m＝3时，e＝＝，m＝－3时，e＝2，所以正确选项为C．
6．(2021·洛阳市期中)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A． B．
C． D．2
[答案] C
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3，知x1＝2，
∴y1＝2，
∵S△AOF＝|OF|·y1＝，∴<S△AOB<2，故选C．
7．(2021·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)以双曲线－＝1(a>0，b>0)中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线在第一象限内交于M点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴的垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为( )
A．－1 B．
C．＋1 D．2
[答案] C
[解析] 由题意知点M的坐标为M(，)，代入双曲线方程可得－＝1，∵b2＝c2－a2，e＝，
∴e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋2，∴e＝＋1.故选C．
8．(2021·广东揭阳一中期中)曲线＋＝1与曲线＋＝1(12<k<16)的( )
A．长轴长与实轴长相等 B．短轴长与虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
[答案] C
[解析] 对于椭圆＋＝1，c＝2，对于双曲线－＝1，c＝(16－k)＋(k－12)＝4，∴c1＝2，故选C．
9．(文)(2022·佛山质检)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b＝c，a2－c2＝c2，∴e＝.
(理)(2022·吉林省试验中学一模)如图，F1、F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1、C2在第一象限的公共点，若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是( )
A． B．
C．或 D．
[答案] B
[解析] 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得，|AF1|＝|F1F2|＝2c＝2＝4，
∴c＝2，
|AF1|－|AF2|＝2，∴|AF2|＝2，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，∴a＝3，∴e＝＝.
10．(文)(2022·吉林延边州质检)已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] B
[解析] ∵方程表示双曲线，∴m>0，∵a2＝9，b2＝m，
∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝，
∵双曲线的一个焦点在圆上，∴是方程x2－4x－5＝0的根，∴＝5，∴m＝16，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选B．
(理)(2022·银川九中一模)已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·＝( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
[答案] C
[解析] 由渐近线方程为y＝x知，＝1，∴b＝，
∵点P(，y0)在双曲线上，∴y0＝±1，
y0＝1时，P(，1)，F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴·＝0，
y0＝－1时，P(，－1)，·＝0，故选C．
11．(2021·开封四中期中)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] D
[解析] 设△OFM的外接圆圆心为O1，则|O1O|＝|O1F|＝|O1M|，∴O1在线段OF的中垂线上，∴O1(，p)，又圆面积为36π，∴半径为6，∴＋p2＝36，
∴p＝8.
12．(2021·石家庄市五校联合体摸底)直线l：y＝k(x－)与曲线x2－y2＝1(x>0)相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) B．(，)∪(，)
C．[0，)∪(，π) D．(，)
[答案] B
[解析] 双曲线x2－y2＝1的两条渐近线y＝±x，直线l过(，0)，当直线l与双曲线的渐近线平行时，与双曲线右支相交，且仅有一个交点，当直线l的斜率k>1或k<－1时，直线l与双曲线相交于A、B两点．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(文)(2021·安徽示范高中联考)直线kx＋y＋k＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0相切，则k＝________.
[答案] 0
[解析] 圆心到直线距离d＝＝2⇒k＝0.
(理)(2021·遵义航天中学二模)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是________．
[答案] [－，0]
[解析] 设圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离为d，由弦长公式得，MN＝2≥2，故d≤1，即≤1，化简得k(k＋)≤0，
∴－≤k≤0.
14．(2021·豫南九校联考)已知双曲线3y2－mx2＝3m(m>0)的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为________．
[答案] 2
[解析] 双曲线标准方程为－＝1，∴c＝，∵抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，∴＝2，∴m＝1，∴e＝2.
15．(文)(2022·天津市六校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
[答案] －＝1
[解析] 椭圆中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7，
∴离心率e1＝，焦点(±，0)，
∴双曲线的离心率e2＝＝，焦点坐标为(±，0)，
∴c＝，a＝2，从而b2＝c2－a2＝3，
∴双曲线方程为－＝1.
(理)(2022·三峡名校联盟联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则椭圆＋＝1的离心率e＝________.
[答案]
[解析] 由条件知＝，即a＝2b，
∴c2＝a2－b2＝3b2，c＝b，
∴e＝＝＝.
16．(2021·湖北武汉调考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
[答案] 8
[解析] 如图，设MN的中点为P，由题意可知，PF1，PF2分别为△AMN，△BMN的中位线，
∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×4＝8.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(2022·银川九中一模)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．
[解析] 设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，
则解得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
(2)由于直线l的方程为y＝x＋m，
所以直线l′的方程为y＝－x－m.
由得x2＋4x＋4m＝0.
Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．
①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；
②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．
综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．
18．(本小题满分12分)(2021·山西大同调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点B(1,0)，圆A：(x＋1)2＋y2＝16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线与AP相交点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点B(1,0)且斜率为1的直线与曲线C相交于E、F两点，求弦长EF.
[解析] (1)由已知|QP|＝|QB|，Q在线段PA上，所以|AQ|＋|QP|＝|AQ|＋|QB|＝4，
所以点Q的轨迹是椭圆，2a＝4，a＝2,2c＝2，c＝1，∴b2＝3，
所以C点的轨迹方程为＋＝1.
(2)直线EF的方程为：y＝x－1.
由消去y整理得7x2－8x－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝－，
|AB|＝·＝·＝.
19．(本小题满分12分)(2021·大连二十中期中)平面内动点P(x，y)与两定点A(－2,0)，B(2,0)连线的斜率之积等于－，若点P的轨迹为曲线E，过点(－1,0)作斜率不为零的直线MN交曲线E于点M、N.
(1)求曲线E的方程；
(2)求证：AM⊥AN；
(3)求△AMN面积的最大值．
[解析] (1)设动点P坐标为(x，y)，当x≠±2时，由条件得：
·＝－，化简得＋＝1.
曲线E的方程为＋＝1，(x≠±2)．
(2)直线MN斜率不为0，所以可设MN方程为my＝x＋1，与椭圆方程联立得：(m2＋3)y2－2my－3＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)，
·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝＋＋1＝0，
所以⊥，所以AM⊥AN.
(3)△AMN面积为|y1－y2|＝
＝，
当m＝0时面积最大为1.
20．(本小题满分12分)(文)(2022·云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
[解析] (1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝，
设A(x1，y1)，B(x1，y1)，则A、B两点坐标满足方程组
消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由于直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝，
解得b＝.
(理)(2022·陕西工大附中四模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点P(1，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．
①当直线l的倾斜角为45°时，求|MN|的长；
②求△MF1N的内切圆的面积的最大值，并求出当△MF1N的内切圆的面积取最大值时直线l的方程．
[解析] (1)由已知，得a2－b2＝c2＝1，且＋＝1，解得a2＝4，b2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①由消去x得7x2－8x－8＝0，
解得x1＝，x2＝.
则|MN|＝|x1－x2|＝.
②设直线l的方程为x＝my＋1，由
消去x得，(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，明显Δ>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有
y1＋y2＝－，y1·y2＝－，
设△MF1N的内切圆半径为r，由S△MF1N＝(|MF1|＋|NF1|＋|MN|)·r＝4r可知，当S△MF1N最大时，r也最大，△MF1N的内切圆面积也最大，
由S△MF1N＝|F1F2|·|y1－y2|＝|y1－y2|
＝＝，
令t＝，则t≥1，且m2＝t2－1，则
S△MF1N＝＝，
令f(t)＝3t＋(t≥1)，则f ′(t)＝3－>0，从而f(t)在区间[1，＋∞)上单调递增，故有f(t)≥f(1)＝4，所以S△MF1N≤3，即当t＝1，m＝0时，S△MF1N有最大值3，即rmax＝，这时△MF1N的内切圆面积的最大值为π，直线l的方程为x＝1.
21．(本小题满分12分)(2021·武汉市调研)如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)设直线y＝－2x＋m(其中m<2)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|<|PR|，求的取值范围．
[解析] (1)设M的坐标为(x，y)，明显有x>0，且y≠0，
当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)，
当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，
有tan∠MBA＝，即＝，
化简可得，3x2－y2－3＝0，而点(2，±3)也在曲线3x2－y2－3＝0上，
综上可知，轨迹C的方程为x2－＝1(x>1)．
(2)由消去y并整理得，x2－4mx＋m2＋3＝0(*)
由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，
∴解得m>1，且m≠2，
又∵m<2，∴1<m<2，
设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，
由|PQ|<|PR|及方程(*)有
xR＝2m＋，xQ＝2m－，
∴＝＝＝
＝－1＋，
由1<m<2，得1<－1＋<7，
故的取值范围是(1,7)．
22．(本小题满分14分)(文)(2021·洛阳市期中)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解析] (1)由题意得：e＝＝，①
左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为
＝，②
由①②可解得c＝1，a＝2，b2＝a2－c2＝3.
∴所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋m代入椭圆方程得，
(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
且y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m.
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0)，
∴·＝0.
∴(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4
＝(k2＋1)·－(km－2)·＋m2＋4＝0.
整理得7m2＋16km＋4k2＝0.
∴m＝－k或m＝－2k都满足Δ>0.
当m＝－2k时，直线l的方程为y＝kx－2k＝k(x－2)，
恒过定点A2(2,0)，不合题意，舍去．
当m＝－k时，直线l的方程为y＝kx－k，即y＝k(x－)，恒过定点(，0)．
(理)(2021·广州执信中学期中)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，过C1的左焦点F1的直线l：x－y＋2＝0被圆C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得的弦长为2.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|＝|PF2|，若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．
[解析] (1)由于直线l的方程为l：x－y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，
即F1(－2,0)．
∴c＝2，又∵e＝＝，∴a2＝6，b2＝a2－c2＝2，
∴椭圆C1的方程为＋＝1.
(2)存在点P，满足|PF1|＝|PF2|.
∵圆心C2(3,3)到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝＝，
又直线l：x－y＋2＝0被圆C2：x2＋y2－6x－6y＋18－r2＝0截得的弦长为2，
∴由垂径定理得d2＋()2＝＝2，
故圆C2的方程为C2：(x－3)2＋(y－3)2＝4.
设圆C2上存在点P(x，y)，满足|PF1|＝|PF2|，即|PF1|＝3|PF2|，且F1，F2的坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，
则＝3，
两边平方整理得(x－)2＋y2＝，它表示圆心在C(，0)，半径是的圆．
∴|CC2|＝＝.
故有2－<|CC2|<2＋，即圆C与圆C2相交，有两个公共点．
∴圆C2上存在两个不同点P，满足|PF1|＝|PF2|.
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