资源描述
[基础达标]
1．假如x>0，比较(－1)2与(＋1)2的大小．
解：(－1)2－(＋1)2
＝[(－1)＋(＋1)][(－1)－(＋1)]
＝－4.
∵x>0，∴>0，∴－4<0，
∴(－1)2<(＋1)2.
2．设a，b是非负实数，求证a3＋b3≥(a2＋b2)．
证明：a3＋b3－(a2＋b2)
＝a2(－)＋b2(－)
＝(－)[()5－()5]．
当a≥b时，≥，()5≥()5，
∴(－)[()5－()5]≥0；
当a<b时，<，()5<()5，
∴(－)[()5－()5]>0.
∴a3＋b3≥(a2＋b2)．
3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，求证＋≥.
证明：法一：∵a，b∈R＋，且a＋b＝1，
∴ab≤＝，
∴＋＝4＋(a2＋b2)＋
＝4＋[(a＋b)2－2ab]＋
＝4＋(1－2ab)＋
≥4＋1－2×＋＝.
∴＋≥.
法二：左边＝＋
＝a2＋b2＋4＋
＝4＋a2＋b2＋＋
＝4＋a2＋b2＋1＋＋＋＋＋1
＝4＋(a2＋b2)＋2＋2＋
≥4＋＋2＋2×2＋2··
＝4＋＋2＋4＋2＝.
∴＋≥.
4．已知a>b>c且a＋b＋c＝0，求证<A．
证明：由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，所以b2－ac>0，a>0.
欲证<a，
只需证b2－ac<3a2，
即证b2＋a(a＋b)<3a2，
即证(a－b)(2a＋b)>0，
即证(a－b)(a－c)>0.
由于a>b>c，所以(a－b)(a－c)>0成立，
所以所证不等式成立．
[力气提升]
1．(1)设x≥1，y≥1，求证x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1<a≤b≤c，求证logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logaC．
证明：(1)∵x≥1，y≥1，
∴x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
下面利用作差法证明：
y＋x＋(xy)2－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
∵x≥1，y≥1，∴(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，
由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式为x＋y＋≤＋＋xy.
又1<a≤b≤c，∴x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)知所要证明的不等式成立．
2．已知△ABC的三边长分别是a，b，c且m为正数，求证：＋>.
证明：要证＋>，
只需证a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)>0，
即证abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，
即证abc＋2abm＋(a＋b－c)m2>0.
由于a，b，c分别是△ABC的三边长，故有a＋b>C．
∵m>0，∴(a＋b－c)m2>0，
∴abc＋2abm＋(a＋b－c)m2>0是成立的，
因此＋>成立．
3．已知函数f(x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证[f(x1)＋f(x2)]>f.
证明：要证[f(x1)＋f(x2)]>f，
即证(tan x1＋tan x2)>tan，
只需证>
＝＝，
只需证>.
∵x1，x2∈，∴0<x1＋x2<π，
∴sin(x1＋x2)>0，cos x1>0，cos x2>0，1＋cos(x1＋x2)>0，
∴只需证1>cos x1cos x2＋sin x1sin x2，
即证1>cos(x1－x2)．
∵x1≠x2，cos(x1－x2)<1恒成立，
∴原不等式成立，
即[f(x1)＋f(x2)]>f成立．
4．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求证对任意的x>0，an≥－.
解：(1)∵an＋1＝，∴＝＋，
∴－1＝.
又－1＝，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴－1＝·＝，
∴an＝.
(2)证明：由(1)知an＝，
－
＝－
＝－
＝－·＋
＝－·(—an)2＋an≤an，
∴原不等式成立．
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