资源描述
[基础达标]
1．已知曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos(θ＋)－2＝0.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若点M(x，y)在曲线C上，求x＋y的最小值．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－2＝0.
(2)由(1)知，曲线C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4.
设(α为参数)，
则x＋y＝2sin α＋2cos α＝2sin(α＋)≥－2，
所以x＋y的最小值为－2.
2．(2021·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中， 直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的一般方程， 并求出它们的公共点的坐标．
解：由于直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的一般方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的一般方程为y2＝2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，(，－1)．
3．将圆x2＋y2＝4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C；将直线3x－2y－8＝0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l.
(1)求直线l与曲线C的方程；
(2)求C上的点到直线l的最大距离．
解：(1)设曲线C上任一点为(x，y)，
则(x，2y)在圆x2＋y2＝4上，
于是x2＋(2y)2＝4，即＋y2＝1.
直线3x－2y－8＝0的极坐标方程为
3ρcos θ－2ρsin θ－8＝0，将其记作l0，
设直线l上任一点为(ρ，θ)，则点(ρ，θ－90°)在l0上，
于是3ρcos(θ－90°)－2ρsin(θ－90°)－8＝0，
即3ρsin θ＋2ρcos θ－8＝0，
故直线l的方程为2x＋3y－8＝0.
(2)设曲线C上任一点为M(2cos φ，sin φ)，
它到直线l的距离为d＝＝，
其中φ0满足：cos φ0＝，sin φ0＝.
∴当φ－φ0＝π时，dmax＝.
4．已知直线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝时，C1的一般方程为y＝(x－1)，C2的一般方程为x2＋y2＝1，
联立方程得，解得C1与C2的交点坐标分别为(1，0)，(，－)．
(2)依题意，C1的一般方程为xsin α－ycos α－sin α＝0，则A点的坐标为(sin2α，－sin αcos α)．
故当α变化时，
P点轨迹的参数方程为(α为参数)，
即(α为参数)．
∴P点轨迹的一般方程为(x－)2＋y2＝.
故P点的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．
[力气提升]
1．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并推断M的轨迹是否过坐标原点．
解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0<α<2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
2．(2022·山西太原市调研)已知曲线C：y2＝4x，直线l过点P(－1，－2)，倾斜角为30°，直线l与曲线C相交于A，B两点．
(1)求直线l的参数方程；
(2)求|PA|·|PB|的值．
解：(1)∵直线l过点P(－1，－2)，倾斜角为30°，
∴直线l的参数方程为，(t为参数)．
(2)设A，B对应的参数分别为t1，t2，
将直线l的参数方程代入C：y2＝4x，
化简得t2－8(1＋)t＋32＝0，∴
∴|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝32.
3．(2021·高考福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试推断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，
可得a＝，
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1.
由于圆心C到直线l的距离d＝＝<1，
所以直线l与圆C相交．
4．(2021·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－)＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为(4，)，(2，)．
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，
由参数方程可得y＝x－＋1.
所以解得
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