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双基限时练(十四)
1．顶点在原点对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线的方程为( )
A．y2＝－16x B．y2＝－12x
C．y2＝16x D．y2＝12x
解析 直线与x轴的交点坐标为(4,0)，∴抛物线的焦点为(4,0)，∴＝4，p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x.
答案 C
2．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析 由于点(3,2)在抛物线内部，所以只有一条与对称轴平行的直线与抛物线有一个交点．
答案 B
3．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析 由题可知，抛物线焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S△OAF＝··＝4，
∴a＝±8，故选B.
答案 B
4．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0交于A，B两点，其中A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|等于( )
A．7 B．3
C．6 D．5
解析 将A(1,2)分别代入抛物线与直线方程可得
p＝2，a＝2，∴可得x2－5x＋4＝0，∴x1＝1，x2＝4.|FA|＋|FB|＝x1＋＋x2＋＝7.
答案 A
5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标和等于a2＋2a＋3(a∈R)的最小值，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有一条或两条 D．有很多多条
解析 由抛物线的定义知，|AB|＝xA＋xB＋p，而a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2≥2，p＝2，∴|AB|＝2＋2＝4.
而过焦点最短的弦长|AB|＝4(即通径长)，
∴这样的直线有且仅有一条．
答案 A
6．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆的方程是____________________．
解析 由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，
所以△OAB外接圆的圆心C在x轴上．
设圆心坐标为(r,0)，并设A点在第一象限，
则A点坐标为 (r，r)，
于是有(r)2＝2×r，解得r＝4，
所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
答案 (x－4)2＋y2＝16
7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线m交抛物线于A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．
解析 分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，
得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°.
又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6.
∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3.
∴F为线段AC的中点．
故F到准线的距离p＝|AA1|＝，
故抛物线的方程为y2＝3x.
答案 y2＝3x
8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为________．
解析 如图，由题意可得|OF|＝1，
由抛物线定义，得|AF|＝|AM|，
∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，
∴＝＝3.
∴|AF|＝|AM|＝3，设A(x0，y0)．
∴x0＋1＝3，x0＝2，代入y2＝4x，可得y＝8.
解得y0＝±2，
∴点A的坐标是(2，±2)．
答案 (2，±2)
9．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝(x－1)，由得y2－4y－4＝0.
解得y1＝2，y2＝－.
∴A(3,2)，∴OAF的面积为S＝×1×2＝.
答案
10．已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解 (1)联立
消去x，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1·y2＝－1.
∵y＝－x1，y＝－x2，∴(y1·y2)2＝x1·x2.
∴x1·x2＝1.∴x1x2＋y1y2＝0，
即·＝0.∴OA⊥OB.
(2)设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为(－1，0)，
∴S△AOB＝|ON|·|y1－y2|
＝×|ON|×
＝×1× ＝，
解得k2＝，所以k＝±.
11.
如图，l1，l2是通过某市开发区中心O的南北和东西走向的两条道路，连接M，N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l1对称．M到l1，l2的距离分别是2 km、4 km，N到l1，l2的距离分别是3 km、9 km.
(1)建立适当的坐标系，求抛物线MN的方程；
(2)该市拟在点O的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点O的距离大于5 km而不超过8 km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km，求该厂离点O的最近距离．(注：工厂视为一个点)
解
(1)分别以l2、l1为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，N(3,9)．
设MN所在抛物线的方程为
y＝ax2＋c，
则有解得
故所求抛物线MN的方程为
y＝x2(2≤x≤3)．
(2)设抛物线弧上任意一点P(x，y)，则y＝x2(2≤x≤3,4≤y≤9)，厂址为A(0，t)(5<t≤8)．
由题意|PA|＝≥，
即y＋(y－t)2≥6，
∴y2＋(1－2t)y＋t2－6≥0(*)
－＝t－∈．
∴要使(*)恒成立，只需当y＝时成立，
即＋(1－2t)＋t2－6≥0，
即得4t－25≥0，∴t≥，又5<t≤8，∴≤t≤8.
∴t的最小值为.
故该厂离点O的最近距离为 km.
12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解 (1)由题意知，直线AB的方程为y＝2，与y2＝2px联立，消去y并整理，得4x2－5px＋p2＝0.
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，解得p＝4.
∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0为4x2－20x＋16＝0，即x2－5x＋4＝0.
解得x1＝1，x2＝4.
于是y1＝－2，y2＝4.
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设C的坐标为(x3，y3)，则
＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)．
又y＝8x3，∴(4λ－2)2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1.
解得λ＝0或λ＝2.
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