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双基限时练(三)
1．“α＝”是“cos2α＝”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 α＝，cos2α＝cos＝.但cos2α＝，得2α＝2kπ±，k∈Z，则α可以不等于，则“α＝”是“cos2α＝”的充分而不必要条件．
答案 A
2．设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
3．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由⇒a>b；而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足，但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要而不充分条件，选B.
答案 B
4．“直线与平面α内很多条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
5．有下述说法：①a>b>0是a2>b2的充要条件；②a>b>0是<的充要条件；③a>b>0是a3＋b3>0的充要条件．其中正确的说法有( )
A．0个 B． 1个
C．2个 D．3个
答案 A
6．已知P＝{x|x2－4x＋3≤0}，Q＝{x|y＝＋}，则“x∈P”是“x∈Q”的________条件．
解析 P＝，Q＝，∴P⊆Q.
则x∈P⇒x∈Q，但x∈QDx∈P，
故x∈P是x∈Q的充分不必要条件．
答案 充分不必要
7．若不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是<x<，则实数m的取值范围是________．
解析 |x－m|<1，即m－1<x<m＋1，
由题意可知即－≤m≤，
故实数m的取值范围是．
答案
8．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
解析 当圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点时，有>1，即<2，
∴k2<3，∴－<k<.
答案 －<k<
9．已知p：－2≤1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 方法1：由x2－2x＋1－m2≤0，
得1－m≤x≤1＋m，
∴綈q：A＝{x|x>1＋m，或x<1－m，m>0}．
由－2≤1－≤2，得－2≤x≤10，
∴綈p：B＝{x|x>10，或x<－2}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，结合数轴
∴AB⇔解得m≥9.
方法2：∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴綈q⇒綈p，且綈pD綈q.
∴p⇒q，且qDp，即p是q的充分不必要条件．
结合数轴
∵p：C＝{x|－2≤x≤10}，
q：D＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
∴CD，∴∴m≥9.
所以实数m的取值范围是{m|m≥9}．
10．证明：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0相互垂直”的充要条件．
证明 充分性：当b＝0时，假如a＋2b＝0，那么a＝0，此时，直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们相互垂直；当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，假如a＋2b＝0，那么k1k2＝×＝－1.故两直线相互垂直．
必要性：假如两条直线相互垂直且斜率都存在，那么k1k2＝×＝－1，所以a＋2b＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且相互垂直，则b＝0，且a＝0，所以a＋2b＝0.
综上可知，a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0相互垂直的充要条件．
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