资源描述
双基限时练(九)
1．已知F1(－5,0)，F2(5, 0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
解析 当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，P的轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，∴P的轨迹是一条射线．
答案 D
2．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 方程表示双曲线须(k－3)(k＋3)>0，即k>3，或k<－3，又“k>3”是“k>3”或“k<－3”的充分不必要条件．∴选A.
答案 A
3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，则△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
解析 如图所示，由题意可知
|AF1|＋2a＝|AF2|，|BF1|＋2a＝|BF2|，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋|AF1|＋|BF1|＋4a＝2|AB|＋4a＝26.故选D.
答案 D
4．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为( )
A. B.
C. D.
解析 由双曲线的方程知，a＝，b＝，
∴c＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
将x＝－3代入双曲线的方程得y2＝.
不妨设点M在x轴上方，则M(－3，)．
∴|MF1|＝，|MF2|＝.
设点F1到直线F2M的距离为d，
则有|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，∴d＝.
答案 C
5．已知P为双曲线－＝1上任意一点，A (5,0)，B(－5,0)，则kPA·kPB为( )
A. B.
C．－ D.
解析 设P(x0，y0)，则－＝1，∴y＝9(－1)．
又kPA·kPB＝·＝
＝＝.故选D.
答案 D
6．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是( )
解析 将直线和曲线的方程分别变形为y＝mx＋n ①，＋＝1 ②，当m>n>0时，②表示焦点在x轴上的椭圆，此时直线与y轴的交点为(0，n)，在x轴上方，所以选项A不行能．同理选项B不行能．当m>0，n<0时，②表示实轴为x轴的双曲线，此时直线y＝mx＋n与y轴的交点(0，n)在x轴下方，C适合．故选C.
答案 C
7．双曲线－＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是________．
解析 由题可知∴－2<m<－1.
答案 (－2，－1)
8．双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________．
解析 由双曲线方程－＝1知，渐近线方程为y＝±x，右焦点为(3,0)，依据点到直线的距离公式可求得该距离为d＝＝.
答案
9．已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹方程为________．
解析 ∵A(0,7)，B(0，－7)在以C，F为焦点的椭圆上，
∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a，
∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2<|AB|＝14.
∴点F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下半支．
答案 以A，B为焦点的双曲线的下半支
10．设双曲线－＝1，F1，F2是两个焦点，点M在双曲线上，若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积．
解 由题意知a2＝4，b2＝9，∴c2＝13.
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，
则由双曲线定义知|r1－r2|＝2a＝4，
∴(r1－r2)2＝r＋r－2r1r2＝16.①
又∵∠F1MF2＝90°，
∴r＋r＝|F1F2|2＝4c2＝52.②
∴由①②得r1r2＝18.
∴S△F1MF2＝r1r2＝9.
11．设A，B，C三点是红方三个炮兵阵地，A在B正东6 km处，C在B北偏西30°，相距4 km处，P为蓝方炮兵阵地．某时刻A处发觉蓝方炮兵阵地的某种信号，由于B，C两地比A地距P地远，因此4 s后，B，C才同时发觉这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．
解
如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(－3，0)，A(3,0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．
∵kBC＝－，BC中点为D(－4，)，
∴直线PD：y－＝(x＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4，故P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，则双曲线方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②式，得x＝8，y＝5，∴P(8,5)．
因此kPA＝＝.
故炮击的方位角为北偏东30°.
12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试推断△MF1F2的外形．
解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，依据题意可设双曲线方程为－＝1，则有
解得a2＝3，b2＝2.故双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设点M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2.
又|MF1|＋|MF2|＝6，
∴|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
∴在△MF1F2中，|MF1|边最长．
由余弦定理得
cos∠MF2F1＝
＝<0.
∴∠MF2F1为钝角．故△MF1F2为钝角三角形．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
