资源描述
2．3．2 向量数量积的运算律
课时目标 1．把握平面对量数量积的运算律及常用的公式．2．能运用平面对量数量积的运算律及常用公式进行计算．
1．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________(交换律)；
(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝____________(支配律)．
2．生疏以下计算结果
(1)a2＝a·a＝__________；
(2)(a＋b)2＝______________＝_____________________________________________；
(3)(a－b)2＝__________________＝_________________________________________；
(4)(a＋b)·(a－b)＝______________＝________________________________________；
(5)|a＋b|2＋|a－b|2＝________________．
一、选择题
1．若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不愿定成立的是( )
A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．m(a＋b)＝ma＋mb
D．(a·b)c＝a(b·c)
2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
3．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为( )
A．0 B． C． D．
4．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的外形为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．A、B、C均不正确
5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
二、填空题
7．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________．
8．已知a，b都是非零向量，则a2＋b2与2a·b的大小关系是____________________．
9．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|<|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2．
其中正确的序号是________．
10．已知(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，则〈a，b〉＝____________________．
三、解答题
11．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，求|b|的取值范围．
12．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＝1 (k∈R)，求k的值．
力气提升
13．已知a，b是非零向量，当|a＋tb| (t∈R)取最小值时，
(1)求t的值；
(2)已知a与b共线且同向，求证：b⊥(a＋tb)．
14．△ABC三边的长满足AC2＋AB2＝5BC2，且BE、CF分别为AC与AB边上的中线，求证：BE⊥CF．
1．在实数中，若ab＝0则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，由于其中cos θ有可能为0．
2．在实数中，若ab＝bc，b≠0则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0D/⇒a＝c．
3．向量的数量积对结合律一般不成立，(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
2.3.2 向量数量积的运算律 答案
学问梳理
1．(1)b·a (2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c＋b·c 2.(1)|a|2 (2)a2＋2a·b＋b2 |a|2＋2a·b＋|b|2 (3)a2－2a·b＋b2
|a|2－2a·b＋|b|2 (4)a2－b2 |a|2－|b|2 (5)2|a|2＋2|b|2
作业设计
1．D [∵(a·b)c＝(|a|·|b|cos θ)c＝λc，a(b·c)
＝a|b||c|cos α＝μa，而c的方向与a的方向不愿定相同．]
2．B [∵|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.]
3．D [∵a·c＝a·
＝a·a－·(a·b)＝a·a－a·a＝0.
∴a⊥c.故选D.]
4．B [(－)·(＋－2)＝0
⇔·(＋)＝0
⇔(－)·(＋)＝0
⇔2－2＝0⇔||＝||.]
5．C [由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
∴cos θ＝－＝－＝－，
∴θ＝120°.]
6．C [∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|＝6.]
7．±
解析 (a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，
∴λ＝±.
8．a2＋b2≥2a·b
解析 ∵a2＋b2－2a·b＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2a·b.
9．①③④
解析 依据向量积的支配律知①正确；
由于[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
由于a·b不共线，所以|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，
所以|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；
④正确．故正确命题序号是①③④.
10．π－arccos (或arccos )
解析 由(a＋b)⊥(2a－b)可得(a＋b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋a·b－b2＝0， ①
由(a－2b)⊥(2a＋b)，可得(a－2b)·(2a＋b)＝0，
即2a2－3a·b－2b2＝0， ②
①×3＋②得a2＝b2.
∴|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，
由①得a·b＝b2－2a2＝|b|2－2×|b|2＝－|b|2.
∴cos θ＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝π－arccos .
11．解 b·(a－b)＝a·b－|b|2
＝|a|·|b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1.
12．(1)证明 由于|a|＝|b|＝|c|＝1，且a、b、c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)解 由于|ka＋b＋c|＝1，
所以(ka＋b＋c)2＝1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＝1，
所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°＝1.
所以k2－2k＝0，解得k＝0，或k＝2.
所以实数k的值为k＝0，或k＝2.
13．(1)解 令m＝|a＋tb|，θ为a与b的夹角，则
m2＝|a|2＋2a·tb＋t2|b|2
＝t2|b|2＋2t|a||b|cos θ＋|a|2
＝|b|22＋|a|2sin2θ，
∴当t＝－cos θ时，|a＋tb|有最小值|a|sin θ.
(2)证明 ∵a与b共线且方向相同，故cos θ＝1.
∴t＝－.
∴b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝|a||b|－|a||b|＝0.
∴b⊥(a＋tb)．
14．证明
∵＋＝，
∴(＋)2＝2，
即2＋2·＋2＝2，
由已知条件：2＋2＝52，
得·＝22.
∴·＝(＋)·(＋)
＝(·＋·＋·＋·)
＝[22＋·(＋)＋·]
＝[22＋·＋·]
＝(22－22)＝0.
∴⊥，即BE⊥CF.
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