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双基限时练(十一)
1．双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知线段F1F2被点(b,0)分成51两段，则此双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
解析 由题可知b＋c＝5(c－b)，∴3b＝2c.
∴9b2＝4c2＝9(c2－a2)．
∴5c2＝9a2，∴e2＝，e＝.
答案 C
2．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(，＋∞)
C．(1, 2) D．(2，＋∞)
解析 设A(c，y0)代入双曲线方程得－＝1，∴y＝.
∴|y0|＝，∴|AF|＝.
∵△ABE是钝角三角形，
∴∠AEF>45°.
则只需|AF|>|EF|，即>a＋c，
∴b2>a2＋ac，
即c2－a2>a2＋ac，c2－ac－2a2>0.
∴e2－e－2>0，解得e>2，或e<－1(舍去)．故选D.
答案 D
3．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足·＝0，＋的值为( )
A．2 B.
C．4 D.
解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为m，不妨设P在第一象限，由题可得
①2＋②2得|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＋2m2，
∴a2＋m2＝2c2.
又＋＝()2＋()2＝＝2.故选A.
答案 A
4．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
解析 设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，
故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，
在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，
故|PF1|＝4b，则4b－2c＝2a，
即2b－a＝c，∴(2b－a)2＝a2＋b2.
∴3b2－4ab＝0，即3b＝4a.
故双曲线的渐近线方程是y＝±x，
即y＝±x，故选C.
答案 C
5．与曲线＋＝1共焦点，而与曲线－＝1共渐近线的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 椭圆的焦点为(0，±5)，双曲线的渐近线为y＝±x，验证选项知应选C.
答案 C
6．下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则( )
A．e1>e2>e3 B．e1<e2<e3
C．e1＝e3<e2 D．e1＝e3>e2
解析 设|F1F2|＝2c，在①中2a＝|MF2|－|MF1|＝(－1)c；在②中，2a＝|MF2|－|MF1|＝c；在③中，2a＝|AF2|－|AF1|＝(－1)c.∴e1＝e3>e2.
答案 D
7．若动点P(x，y)到定点F(5,0)的距离是它到直线x＝的距离的倍，则动点P的轨迹方程为________．
解析 设P(x，y)，则＝，
化简整理得16x2－9y2＝144.
答案 16x2－9y2＝144
8．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝________.
解析 由于渐近线方程为y＝x，∴b＝.
∴双曲线方程为x2－y2＝2.
∴点P的坐标为(，±1)．
又易知F1(－2,0)，F2(2,0)，不妨取P(，1)．
∴·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝0.
答案 0
9．已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.
解析 由双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0，且b＝3可得a＝1，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a⇒|PF1|－3＝2⇒|PF1|＝5.
答案 5
10．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144，F1，F2是其左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
解 双曲线的方程可化为－＝1，
∴a2＝9，b2＝16，∴c＝5.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝6.
∴cos∠F1PF2＝
＝.
又|PF1|·|PF2|＝32，
∴cos∠F1PF2＝＝0.
∴∠F1PF2的大小为90°.
11．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．
解 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
依题意c＝，∴方程可以化为－＝1，
由得
(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∵＝－，∴＝－，解得a2＝2.
∴双曲线的方程为－＝1.
12．设k∈R，争辩方程kx2＋2y2－8＝0所表示的曲线．
解 ①当k<0时，方程变形为＋＝1，它表示焦点
在y轴上的双曲线；
②当k＝0时，方程为y2－4＝0，它表示两条平行于x轴的两条直线；
③当0<k<2时，曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆；
④当k＝2时，方程变为x2＋y2＝4，它表示一个圆；
⑤当k>2时，曲线＋＝1为焦点在y轴上的椭圆．
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