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双基限时练(十三)
1．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为3，则|AB|为( )
A．4 B．8
C．6 D．10
解析 由题可知，抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F，AB中点到准线的距离为3＋1＝4，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×4＝8.
答案 B
2．已知点M(－4,1)，F为抛物线C：y2＝－4x的焦点，点P在抛物线上，若|PF|＋|PM|取最小值，则点P的坐标是 ( )
A．(0,0) B．(－1,2)
C．(－，1) D．(－2,2)
解析
如图所示，l为抛物线的准线，过P作PP′⊥l于P′，过M作MN⊥l于N，
∴|PF|＋|PM|＝|PP′|＋|PM|≥|MN|.
∴当|PF|＋|PM|取小值时，P的纵坐标为1，代入抛物线方程可得P的坐标为(－，1)．
答案 C
3．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a为( )
A．－1 B．1
C．－ D．－2
解析 抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程为a＋1＝0，∴a＝－1.
答案 A
4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A．3 B.
C. D.
解析 依据抛物线定义，点P到准线的距离转化为到焦点F(，0)的距离，故为(0,2)和(，0)的距离为.
答案 B
5．已知抛物线y＝4ax2(a>0)的准线与圆x2＋y2＋mx－＝0相切，且此抛物线上的点A(x0,2)到焦点的距离等于3，则m＝( )
A．± B．±
C．±1 D．0
解析 抛物线y＝4ax2的准线方程为y＝－，
由题知2＋＝3，∴a＝.
∴抛物线的准线为y＝－1，
圆的方程可化为(x＋)2＋y2＝＋，
由圆与抛物线的准线相切可得
＝1，即m＝±，故选A.
答案 A
6．P(x0，y0)是抛物线x2＝2py(p>0)上任一点，则P到焦点的距离是________．
解析 抛物线的准线为y＝－，
∴P到焦点的距离为y0＋.
答案 y0＋
7．抛物线y＝4x2上一点P，则P到直线y＝4x－5的距离的最小值为________．
解析 设P(x，y)，则d＝
＝＝≥＝.
答案
8．抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点纵坐标为－4，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为________．
解析 设点(x0，－4)，则(－4)2＝2px0，
∴x0＝＝.
又由抛物线的定义可知x0＋＝6，∴＋＝6，
即p2－12p＋32＝0，解得p＝4，或p＝8.
∴抛物线方程为y2＝8x，或y2＝16x.
答案 y2＝8x，或y2＝16x
9．已知点A(x，y)在抛物线y2＝4x上运动，求z＝x2＋y2＋3的最小值．
解 ∵A在抛物线上，∴x≥0，
z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3，
二次函数z＝x2＋2x＋3的对称轴为x＝－1.
∴在
设方程的两个根为x1，x2，则依据韦达定理有
x1＋x2＝，x1x2＝4.
由弦长公式，得
(3)2＝(1＋22)，
即9＝()2－16.
整理得p2＋16p－36＝0，
解得p＝2，或p＝－18，此时Δ>0.
故所求的抛物线方程为y2＝4x，或y2＝－36x.
12．如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B
两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
解 由解得或
∴A(4,4)，B(1，－ 2)．
∴|AB|＝＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则
d＝＝
＝|(y0－1)2－9|.
∵－2<y0<4，∴当y0＝1时，d有最大值.
从而△PAB的最大面积为S＝×3×＝.
此时P.因此，当P时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
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