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双基限时练(十四)
1．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．a⊂α D．无法确定
答案 A
2．已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，则α内的任意直线都与a平行；②若a⊥α，则α内的任意直线都与a垂直；③若α∥β，则β内的任意直线都与α平行；④若a与α，β所成的角相等，则α∥β.
则其中真命题为( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
解析 由直线与平面垂直的定义知，若a⊥α，则α内的任意直线都与a垂直，所以②为真；若α∥β，则β内任意直线与α没有公共点，所以平行，故③为真．
答案 B
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它们的对角线AC，BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不肯定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
解析
如图所示，ABCD是空间四边形．且AB＝BC＝CD＝DA.取BD的中点E，连接AE，CE则有AE⊥BD，CE⊥BD.∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AC.
∴空间四边形ABCD的对角线AC、BD垂直，但不相交．
答案 C
4．a，b是直线，α是平面，下列推断正确的是( )
A．a垂直α内的两条直线，则a⊥α
B．a⊥b，b⊥α，则a∥α
C．a∥α，b⊥α，则a⊥b
D．若a∥α，a∥β则α∥β
解析 用排解法，在A中，当两直线平行时，不成立；在B中，a可能在α内；在D中，α与β也可能相交．因此A、B、D均错，故C正确．
答案 C
5．推断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．
(1)假如一条直线垂直于平面内的很多条直线，那么这条直线和这个平面垂直( )
(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边( )
(3)过点A垂直于直线a的全部直线都在过点A垂直于a的平面内( )
(4)假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条确定的平面( )
(5)已知a∥α，且b⊥α，则b⊥a( )
(6)a∥b，a⊥β，则b⊥β( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
6．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点，且有PA＝PC，PB＝PD
，则PO与平面ABCD的关系是__________．
解析 ∵PA＝PC，∴PO⊥AC，又PB＝PD，∴PO⊥BD.∴PO⊥平面ABCD.
答案 垂直
7．AB为⊙O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直⊙O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中共有________个直角三角形．
答案 4
8．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角是________．
解析 由PA⊥平面ABC知，∠PBA就是PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，由PA＝AB，知∠PBA＝45°.
答案 45°
9．如图，已知PA⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.
证明 ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC.
∵AE⊂平面PAC，
∴BC⊥AE.
又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C，
∴AE⊥平面PBC.
10．如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．
解
∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴△AOB，△AOC为等边三角形．
∴AB＝AC＝a.
∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
同理，△BOC也为等腰直角三角形．
取BC的中点H，连接AH，OH，
则AH＝OH＝a.
∴AH2＋OH2＝OA2，
∴△AOH为等腰直角三角形．
∴∠AOH＝45°，AH⊥OH.
又AH⊥BC，∴AH⊥α.
∴OA与平面α所成的角为45°.
11．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.
(1)证明PA∥平面BDE；
(2)证明AC⊥平面PDB；
(3)求直线BC与平面PDB所成的角的正切值．
解 (1)证明：连接AC，设AC∩BD＝H，连接EH.
在△ADC中，由于AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．
又由题设E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.
(2)证明：由于PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.
(3)由AC⊥平面PBD，可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2，可得DH＝CH＝，BH＝.
在Rt△BHC中，tan∠CBH＝＝.
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.
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