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双基限时练(十二)
1．抛物线x2＝－8y的准线方程是( )
A．x＝ B．y＝2
C．y＝ D．y＝－2
答案 B
2．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B.
C. D．0
答案 B
3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
答案 D
4．到定点(3,5)与定直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是( )
A．圆 B．抛物线
C．线段 D．直线
解析 点(3, 5)在直线2x＋3y－21＝0上，所以到点(3,5)与定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线．
答案 D
5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( )
A．x2＝－y或y2＝x
B．y2＝－x或x2＝y
C．x2＝y
D．y2＝－x
答案 B
6．如图，l为南北方向的大路，A地在大路正东2 km处，B地在A地东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到大路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头M，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建费用都为a万元/km，那么修建这条大路的总费用最低是________万元．( )
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
解析 由抛物线的定义知，曲线PQ为抛物线，要使修建费用最低，可从B作l的垂线，其垂线段长为5 km，所以最低费用为5a万元．
答案 C
7．已知动点P到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则点P的轨迹方程为________．
解析 由题意可知点P到(3,0)的距离与到x＝－3的距离相等，故P的轨迹是抛物线，p＝6，∴方程为y2＝12x.
答案 y2＝12x
8．设点A是抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，点M是线段AB的中点，若|AB|＝6，则M到直线x＝－1的距离为________．
解析 如图所示，B(1,0)是抛物线y2＝4x的焦点，直线l：x＝－1是抛物线的准线，过A作AA′⊥l于A′，则|AA′|＝AB＝6.则M到直线x＝－1的距离为＝4.
答案 4
9．若抛物线y2＝8x上一点A到焦点的距离为6，则该点的横坐标为________．
解析 设横坐标为x0，抛物线的准线为x＝－2，
则x0＋2＝6，x0＝4.
答案 4
10．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标．
解 由抛物线定义，设焦点为F(－，0)．
则准线为x＝，过M作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝10.即 －(－9)＝10，
∴p＝2.故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程得y＝±6.
∴M(－9,6)，或M(－9，－6)．
11．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)，
由点B在抛物线上，
得()2＝－2p(－)，
p＝，所以抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
由点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3.
解得a>12.21，或a<－0.21(舍去)．
∵a取整数，∴a的最小整数值为13 m.
12．已知抛物线的焦点在坐标轴上，且抛物线上的一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值及抛物线的标准方程．
解 ①当抛物线开口向下时，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，此时准线为y＝，由抛物线的定义知，－(－3)＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y.
将(m，－ 3)代入方程，得m2＝24，m＝±2.
②当抛物线的开口向左或向右时，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)．
由p＝|a|知，准线方程可统一为x＝－.
于是解此方程组有
四组解
∴抛物线方程为y2＝2x，m＝；y2＝－2x，m＝－；
y2＝18x，m＝；y2＝－18x，m＝－.
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