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双基限时练(二十八)
1．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )
A．0或2 B．2
C. D．无解
解析 依题意得＝，∴m2＝2m，∵m>0，∴m＝2.
答案 B
2．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为( )
A．2 B.－1
C．2－1 D．1
解析 圆心(－2,1)到直线y＝x－1的距离是
d＝＝2.∴直线上的点到圆的最近距离是2－1.
答案 C
3．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
解析 由题意可得<1，
∴>1.∴点P(a，b)在圆外．
答案 B
4．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为( )
A．±4 B．±2
C．±2 D．±
解析 直线方程为y－a＝x，即x－y＋a＝0.该直线与圆x2＋y2＝2相切，∴＝，∴a＝±2.
答案 C
5．直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交不过圆心
解析 将圆的方程配方得(x－1)2＋(y－)2＝.
圆心(1，)到直线3x＋4y－5＝0的距离
d＝＝0.
∴直线与圆相交且通过圆心．
答案 C
6．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝_________________ _______________________________________________________.
解析 当直线l与过圆心(2,0)和点(1，)的直线垂直时，直线l截得的劣弧最短，此时其对的圆心角最小，可求得k＝.
答案
7．若直线y＝x＋k与曲线x＝恰有一个公共点，则k的取值范围是__________．
答案 k＝－，或k∈(－1,1]
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析 由题意知，若圆上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.
∵d＝＝，
∴0≤<1，即0≤|c|<13.
解得－13<c<13.
答案 (－13,13)
9．求与直线y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线方程．
解 解法1：设直线的方程为y＝x＋m，
即x－y＋m＝0.
圆(x－2)2＋(y－3)2＝8的圆心坐标为(2,3)，
半径为2.
由＝2，得m＝5，或m＝－3.
所以直线方程为y＝x＋5，或y＝x－3.
解法2：设直线的方程为y＝x＋m，和圆的方程联立
消去y，得2x2＋(2m－10)x＋m2－6m＋5＝0.
由直线与圆相切，
Δ＝(2m－10)2－8(m2－6m＋5)＝0，
即m2－2m－15＝0，解得m＝5，或m＝－3，
所以直线的方程为y＝x＋5，或y＝x－3.
10．在直线x－y＋2＝0上求一点P，使P到圆x2＋y2＝1的切线长最短，并求出此时切线的长．
解 设P(x0，y0)，则切线长
S＝＝
＝，故当P为(－，)时，切线长最短，其值为.
11．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知可知，直线x＋2y＝0过圆心，
∵a＋2b＝0①
又点A在圆上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2.
∴()2＋＝r2.③
解由①②③组成的方程组
得或
故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
12．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点；
(2)设l与圆C相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
解 (1)证法1：由已知可得直线l：(x－1)m－y＋1＝0，
∴直线l恒过定点P(1,1)．
又∵12＋(1－1)2＝1<5，
∴点P在圆内．
∴对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．
证法2：圆心C(0,1)，
圆心C到直线l的距离为
d＝＝<＝1<，
∴直线l与圆C相交．
∴对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．
(2)解法1：如图所示，由(1)知直线l恒过定点P(1,1)，而M是AB的中点，∴CM⊥MP.
∴点M在以CP为直径的圆上，
以CP为直径的圆的方程为
2＋(y－1)2＝.
即点M的轨迹方程为2＋(y－1)2＝.
解法2：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，
则x＋(y1－1)2＝5，
x＋(y2－1)2＝5.
二式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＝－(y1＋y2－2)(y1－y2)，
∴＝＝＝.
而直线l恒过点P(1,1)，∴＝，
∴＝，即x2－x＋(y－1)2＝0，
即2＋(y－1)2＝，
∴点M的轨迹方程是2＋(y－1)2＝.
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