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双基限时练(十)
1．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是( )
A．α内全部直线与m异面
B．α内存在唯一的直线与m平行
C．α内的直线与m相交
D．α内不存在与m平行的直线
答案 D
2．设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AC在此平面内
解析 画一个空间四边形．易知选A.
答案 A
3．假如两直线a∥b，且a∥平面α，那么b与α的位置关系( )
A．相交 B．b∥α
C．b⊂α D．b∥α或b⊂α
答案 D
4．已知直线a⊥b，a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b∥α B．b⊂α
C．b与α相交 D．以上都有可能
答案 D
5．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析 图①中，取NP的中点C，连接MC，则有AB∥MC⇒AB∥平面MNP；图②、图③中，在平面MNP内找不到与AB平行的直线，所以不能推出AB∥平面MNP；图④中，有AB∥NP⇒AB∥平面MNP，故选B.
答案 B
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
(1)与直线AB平行的平面有________．
(2)与直线AA1平行的平面有________．
(3)若E为A1B1的中点，则直线AE与平面BB1C1C的关系是________．
答案 (1)平面A1B1C1D1，平面CC1D1D
(2)平面BB1C1C，平面CC1D1D
(3)相交
7．已知不重合的直线a，b和平面β.
①若a∥β，b⊂β，则a∥b；②若a∥β，b∥β，则a∥b；③若a∥b，b⊂β，则a∥β；④若a∥b，a∥β，则b∥β或b⊂β，其中正确命题的序号是________．
解析 ①中，若a∥β，b⊂β，则a∥b或a与b异面；②中，若a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交或a与b异面；③中，若a∥b，b⊂β，则a∥β或a⊂β，故①②③均错，④正确．
答案 ④
8．已知E，F，G，M分别是四周体的棱AD，CD，BD，BC的中点．
求证：AM∥平面EFG.
证明 如图所示，连接MD交GF于N，连接EN.
∵GF为△BCD的中位线，
∴N为MD的中点．
∴EN为△AMD的中位线．
∴EN∥AM.
∵AM⊄平面EFG，EN⊂平面EFG，
∴AM∥平面EFG.
9．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E是PD的中点，求证：PB∥平面AEC.
证明 连接BD与AC相交于O，连接EO，AE，
∵ABCD为平行四边形，
∴O是BD的中点．
又E为PD的中点，
∴EO∥PB.
∵PB⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，
∴PB∥平面AEC.
10．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
解 (1)证明：连接D1C，
∵P，Q分别为AD1，AC的中点，
∴PQ綊D1C.
∵PQ⊄面DCC1D1，
D1C⊂面DCC1D1，
∴PQ∥面DCC1D1.
(2)∵D1C＝a，
∴PQ＝D1C＝a.
(3)证明：取B1D1的中点Q1，连接Q1F，Q1B.
∵F为D1C1的中点，Q1F綊B1C1綊BE，
∴四边形Q1FEB为平行四边形，EF∥Q1B.
∴EF⊄面BB1D1D，Q1B⊂面BB1D1D.
∴EF∥面BB1D1D.
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