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双基限时练(十六)
1．假如直线l与平面α不垂直，那么在平面α内( )
A．不存在与l垂直的直线
B．存在一条与l垂直的直线
C．存在很多条与l垂直的直线
D．任意一条都与l垂直
答案 C
2．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，下列结论中不正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PO⊥CD D．PA⊥BD
解析 易证BC⊥平面PBA，CD⊥平面PDA，∴BC⊥PB，CD⊥PD.又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，故A、B、D正确．
答案 C
3．已知直线l，m，平面α，β，l⊥α，m⊥β，α∥β，则直线l与m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
解析 l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m⊥β，∴l∥m.
答案 C
4．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
答案 C
5．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是( )
①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①、③、④正确，②不正确．因此选C.
答案 C
6．圆O的半径为4，PO垂直圆O所在的平面，且PO＝3，那么点P到圆上各点的距离是________．
解析 依题意知P到圆O上各点的距离都相等，由勾股定理算得其值为5.
答案 5
7．二面角α－l－β的大小为120°，直线AB⊂α，直线CD⊂β.且AB⊥l，CD⊥l，则AB与CD所成角的大小为________．
解析 由两条直线所成角通常是指两直线的夹角，因此应答60°(当AB，CD为异面直线时)而不是120°.
答案 60°
8．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.
解析 由AF⊥平面ABCD，知DE⊥面ABCD.
∴DE⊥CD，在Rt△CDE中，CE＝＝＝.
答案
9．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别为CD，DA和AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD.
证明 如题图，
∵AB＝BC，G为AC的中点，∴BG⊥AC.
同理DG⊥AC，又DG∩BG＝G，
∴AC⊥平面BGD.
又E，F分别为CD，DA的中点，
∴EF∥AC.
∴EF⊥平面BGD.
又EF⊂平面BEF.
∴平面BEF⊥平面BGD.
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点D，E分别是AA1，CC1的中点．
(1)求证：AE∥平面BC1D；
(2)证明：平面BC1D⊥平面BCD.
证明 (1)在矩形ACC1A1中，由C1E∥AD，C1E＝AD，
得AEC1D是平行四边形，∴AE∥DC1.
又AE⊄平面BC1D，C1D⊂平面BC1D，
∴AE∥平面BC1D.
(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥CC1，AC⊥BC，CC1∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
而C1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥C1D.
在矩形ACC1A1中，DC＝DC1＝，CC1＝2，
从而DC2＋DC＝CC，
∴C1D⊥DC.
又DC∩BC＝C，
∴C1D⊥平面BCD，
而C1D⊂平面BC1D，
∴平面BC1D⊥平面BCD.
11．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD.
(2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PDC.
证明 (1)取PD中点Q，连接NQ，AQ.
∵N，Q分别为PC，PD的中点，
∴NQ綊CD綊AM.
∴AMNQ为平行四边形．
∴AQ∥MN.
又AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AQ，即AB⊥MN.
又CD∥AB，∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD.
又∠PDA＝45°，Q为PD的中点，
∴AQ⊥PD.
∴MN⊥PD.
又由(2)知MN⊥CD，且PD∩CD＝D，
∴MN⊥平面PCD.
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