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双基限时练(十三)
1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
答案 B
2．已知平面α∥β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或
C．14 D．20
解析 当点P在平面α与β的同侧时，由平行线截线段成比例知，＝.即＝，解得BD＝.当P在平面α与β之间时，同理可求得BD＝24.
答案 B
3．α，β，γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离的取值范围是( )
A．{1} B．{7}
C．{1,7} D．[1,7]
答案 C
4．已知平面α∥平面β，它们之间的距离为d，直线a⊂α，则在β内与直线a相距为2d的直线有( )
A．一条 B．两条
C．很多条 D．不存在
答案 B
5．给出下列互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析 ①中α与β也可能相交，∴①错；在②中l与m也可能异面，∴②错，③正确．
答案 C
6．在空间四边形ABCD中，N，M分别是BC，AD的中点，则2MN与AB＋CD的大小关系是________．
解析 如图，取BD的中点P，连接PM，PN，则PM＝AB，PN＝CD，在△PMN中，MN<PM＋PN，
∴2MN<2(PM＋PN)＝AB＋CD.
答案 2MN<AB＋CD
7．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝，G是△ABC的重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝________.
解析 ∵BC∥平面α，平面α∩平面ABC＝MN，
∴BC∥MN.
又G为△ABC的重心，∴AG:GD＝2:1，
∴AG:AD＝2:3，∴MN:BC＝2:3.
∴MN＝BC＝.
答案
8．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，已知AB＝6，DE:DF＝2:5，则AC＝________.
解析 由平行平面的性质定理，知
AD∥BE∥CF，∴＝.
∴AC＝×AB＝×6＝15.
答案 15
9．如图，两条异面直线AC、DF与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，F，又AF，CD分别与β交于G，H，求证：HEGB是平行四边形．
证明 ∵AC∩CD＝C，
∴AC，CD确定平面ACD.
又α∥β，平面ACD与α，β交于AD，BH，
∴AD∥BH.
又AF∩DF＝F，
∴AF，FD确定平面AFD.
又∵α∥β，平面AFD交α，β于AD，GE，
∴AD∥GE.
∴BH∥GE.
同理BG∥HE.
∴四边形HEGB是平行四边形．
10．如图所示，在空间六边形(即六个顶点中没有任何五点共面)ABCC1D1A1中，每相邻的两边相互垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1.
求证：平面A1BC1∥平面ACD1.
证明 首先将图形补成正方体框架，如图②所示．
则在正方体ABCD－A1B1C1D1中，证平面A1BC1∥平面ACD1.
由正方体的性质易，知AC∥A1C1，又AC⊄平面A1BC1，
∴AC∥平面A1BC1，同理可证CD1∥平面A1BC1.
又AC∩CD1＝C，∴平面A1BC1∥平面ACD1.
11．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE:ED＝2:1.
问在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
证明 如图，当F为PC的中点时，BF∥面AEC.
取PE的中点M，连接FM，
则FM∥CE.①
由EM＝PE＝ED知，E是MD的中点，连接BM，BD.设BD∩AC＝O则O为BD的中点，∴BM∥OE.②
由①②知：平面BFM∥平面ACE，又BF⊂平面BFM，∴BF∥平面AEC.
12．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.
证明 ∵F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，∴CD綊AF.
∴四边形AFCD是平行四边形．
∴AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，
∴平面ADD1A1∥平面FCC1，
又EE1⊂平面ADD1A1，EE1⊄平面FCC1，
∴EE1∥平面FCC1.
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