2020-2021学年北师大版高中数学必修一单元质量评估(二).docx

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单元质量评估 (二)
其次章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},下列的四个图形中能表示从集合M到集合N的函数关系的为(　　)

【解析】选B.由函数的定义知A不是,由于集合M中1≤x≤2时,在N中无元素与之对应;C中的x=2对应的元素y=3∉N,所以C不是;D中的x=1时,在N中有两个元素与之对应,D也不是.
【方法技巧】推断图像是否满足A→B的函数关系的条件,①A中取值在图像上是否已全部取到;
②图像上纵坐标的值是否会在B中可找到;
③图像上一个x值只有一个y值与之对应,可以通过画一条与x轴垂直的直线检验.
2.(2022·石家庄高一检测)与y=|x|为同一函数的是(　　)
A.y=(x)2 B.y=x2
C.y=x,x>0,-x,x<0 D.y=x
【解析】选B.在A中,x≥0,在C中少了x=0的定义, D中对应关系与已知函数不同.
3.(2022·九江高一检测)已知函数f(x)=x-x2,x≤5,f(x-4),x>5,则f(6)=(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.-2
【解析】选D.由f(6)=f(6-4)=f(2)=2-22=-2知答案.
4.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数.其图像可能是(　　)

【解题指南】依据汽车的行驶路程与时间、速度之间的关系,分析不同时间段内行驶路程与速度的变化状况即可.
【解析】选A.由这一过程中汽车的速度变化可知,速度由小变大→保持匀速→由大变小.
速度由小变大时,路程曲线上升得越来越快,曲线显得陡峭;匀速行驶中路程曲线上升速度不变;速度由大变小时,路程曲线上升得越来越慢,曲线显得平缓.
5.(2022·成都高一检测)下列函数在区间(-∞,0)上是增加的是(　　)
A.f(x)=3-x B.f(x)=1x-1
C.f(x)=x2-2x-1 D.f(x)=-|x|
【解析】选D.设任意x1,x2∈(-∞,0),Δx=x2-x1>0,选项A中,Δy=f(x2)-f(x1)
=(3-x2)-(3-x1)=x1-x2<0,函数在区间(-∞,0)上是削减的;同理可推断选项B中和选项C中函数在区间(-∞,0)上是削减的,选项D中函数在区间(-∞,0)上是增加的.
6.若f1x=11+x,则f(x)等于(　　)
A.11+x B.1+xx C.x1+x D.1+x
【解析】选C.由于f1x=11+x=1x1x+1,所以f(x)=xx+1.
7.(2022·太和高一检测)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数,在(1,+∞)上是增加的
B.f(x)是偶函数,在(-∞,1)上是削减的
C.f(x)是奇函数,在(-∞,0)上是增加的
D.f(x)是奇函数,在(-1,1)上是削减的
【解析】选D.由于f(x)=x|x|-2x,x∈R,f(-x)=-x|x|+2x=-(x|x|-2x)=-f(x),
所以f(x)=x|x|-2x是奇函数,
当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,
在(1,+∞)上是增加的,在[0,1)上是削减的,可知答案.
8.(2021·大纲版全国卷)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为(　　)
A.(-1,1) B.-1,-12
C.(-1,0) D.12,1
【解析】选B.由于y=f(x)中,x∈(-1,0),
所以y=f(2x+1)中,-1<2x+1<0,
即-1<x<-12.
【变式训练】函数y=f(x+1)的定义域为(-1,0),则函数y=f(2x+1)的定义域为　　　　.
【解析】由于y=f(x+1)中,x∈(-1,0),
所以0<x+1<1,
所以由0<2x+1<1得-12<x<0.
答案：-12,0
9.(2021·浙江高考)已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则
(　　)
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
【解析】选A.由f(0)=f(4)得4a+b=0,
所以b=-4a.
又f(0)>f(1),所以a+b<0,
所以-3a<0即a>0.
10.(2022·重庆高一检测)已知定义在R上的函数y=f(x)的图像关于y轴对称,且满足fx+32=-f(x),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+…+f(2021)的值为
(　　)
A.1 B.2 C.-1 D.-2
【解析】选B.由于fx+32=-f(x),
所以f(x+3)=-fx+32=f(x).
又y=f(x)的图像关于y轴对称,
所以f(-1)=f(1)=1,f(2)=f(-1)=1,
f(3)=f(0)=-2,f(4)=f(1)=1,
f(5)= f(2)=1,f(6)=f(3)=-2,…,
可知f(1)+f(2)+f(3)=0,f(4)+f(5)+f(6)=0,…,
其中2021被3除余数为2,
所以f(2022)=f(1)=1,f(2021)=f(2)=1,其余各项和为0.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)
11.(2022·太原高一检测)已知幂函数f(x)的图像经过点(8,22),那么f(4)=　　　　.
【解析】设f(x)=xa,则8a=22,
即23a=232,所以a=12,
所以f(x)=x,
所以f(4)=4=2.
答案：2
12.(2022·安康高一检测)已知f(x)是奇函数,且f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2021)=　　　　.
【解题指南】明确f(x+4)=f(x)的意义：自变量相差4,函数值相等.
【解析】由于f(x+4)=f(x),
所以f(2021)=f(2011)=f(2007)=…=f(3)=f(-1)=-f(1)=-2×12=-2.
答案：-2
【变式训练】(2021·韩城高一检测)函数f(x)=f(x+2),x<2,2x,x≥2,则f(-3)=　　　　.
【解析】f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2×3=6.
答案：6
13.(2022·重庆高一检测)已知集合A={1,2,m}与集合B={4,7,13},若f：x→y=3x+1是从A到B的映射,则m的值为　　　　　.
【解析】若3m+1=4,则m=1与集合A={1,2,m}冲突,
若3m+1=7,则m=2同理舍去,
所以3m+1=13,即m=4.
答案：4
【变式训练】下列对应关系f中,不是从集合A到集合B的映射的是(　　)
A.A={x|x是锐角},B=(0,1),f：求正弦
B.A=R,B=R,f：取确定值
C.A=R+,B=R,f：求平方
D.A=R,B=R,f：取倒数
【解析】选D.A,A={x|x是锐角},sinx∈(0,1),而B=(0,1),故A正确;
B,由于A=R,任意x∈A,则{x||x|≥0}⊆B,故B正确;
C,由于A=R+,任意x∈A,则{x|x2>0}⊆B,故C正确;
D,A=R,0∈A,而0没有倒数,即集合A中的元素0在集合B中找不到元素与它对应,故D不正确,故选D.
14.(2022·大同高一检测)已知幂函数f(x)的定义域为(-2,2),图像过点(32,2),则不等式f(3x-2)+1>0的解集是　　　　　　.
【解题指南】求出f(x)的表达式,再结合单调性求解.
【解析】设f(x)=xa,
所以2=(32)a,所以a=3,
所以f(x)=x3在R上是增函数,且f(-1)=-1,
所以f(3x-2)+1>0
即f(3x-2)>-1=f(-1),
所以3x-2>-1,-2<3x-2<2,
即13<x<43.
答案：13,43
15.(2022·南昌高一检测)已知函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,下列叙述
①f(x)是奇函数,②y=xf(x)是奇函数,③(x+1)f(x)<3的解为-2<x<2,
④xf(x+1)<0的解为-1<x<1,其中正确的是　　　　(填序号).
【解析】结合图像知①正确,②错误,由于y=x与y=f(x)分别是奇函数,所以y=xf(x)是偶函数,对于③当x>0时,(x+1)×1<3,所以x<2;当x=0时可以,当x<0时,-(x+1)<3,所以x>-4,故-4<x<2,错误;对于④,当x+1>0即x>-1时x<0,所以-1<x<0,当x+1=0即x=-1时舍去,此时可知④错误.
答案：①
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)(2022·武威高一检测)已知函数f(x)=3-x2,x∈[-1,2],x-3,x∈(2,5].
(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图像.

(2)写出f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)函数f(x)的图像如图所示：

(2)函数f(x)的单调递增区间为[-1,0]和[2,5].
17.(12分)(2022·广州高一检测)已知函数f(x)=x2-2ax+a.
(1)当a=1时,求函数f(x)在[0,3]上的值域.
(2)是否存在实数a,使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1,1],值域为[-2,2]?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)f(x)=(x-a)2+a-a2,
由于a=1,
所以f(x)=(x-1)2.
由于x∈[0,3],
所以f(x)在[0,1)上是削减的,在(1,3]上是增加的,
所以最小值为f(1)=0,
而f(0)=1,f(3)=4,
所以值域为[0,4].
(2)当a≥1时,f(x)在[-1,1]上是减函数,
f(-1)=2,f(1)=-2,a=13,a=3;(舍去)
当0≤a<1时,f(-1)=2,f(a)=-2,1+2a+a=2,a-a2=-2;(舍去)
当-1≤a<0时,f(1)=2,f(a)=-2,1-2a+a=2,a-a2=-2,
所以a=-1;
当a<-1时,
f(-1)=-2,f(1)=2,1+2a+a=-2,1-2a+a=2,a=-1,a=-1.(舍去)
综上所述a=-1.
18.(12分)已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.
【解题指南】抛物线开口方向确定,对称轴不确定,需依据对称轴的不同状况分类争辩.可作出二次函数相关部分的简图,数形结合解决问题.
【解析】f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图像开口向上,且对称轴为直线x=a.

当a≥1时,函数图像如图(1),函数f(x)在区间[-1,1]上是削减的,最小值为f(1)=3-2a;
当-1<a<1时,函数图像如图(2),函数f(x)在区间[-1,1]上是先削减后增加,最小值为f(a)=2-a2;
当a≤-1时,函数图像如图(3),函数f(x)在区间[-1,1]上是增加的,最小值为f(-1)=3+2a.
综上可知,当a≥1时,函数f(x)的最小值为3-2a;
当-1<a<1时,函数f(x)的最小值为2-a2;
当a≤-1时,函数f(x)的最小值为3+2a.
【拓展提升】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值一般分为以下几种状况,即：
(1)若对称轴x=-b2a在区间[m,n]内,则最小值为f-b2a,最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x=-b2a距离较远的一个对应的函数值为最大值).
(2)若对称轴x=-b2a<m,则f(x)在区间[m,n]上是增加的,最大值为f(n),最小值为f(m).
(3)若对称轴x=-b2a>n,则f(x)在区间[m,n]上是削减的,最大值为f(m),最小值为f(n).
【变式训练】设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.
【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,对称轴为x=1.

当t+1<1,即t<0时,如图(1),函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1;
当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,如图(2),最小值为f(1)=1;
当t>1时,如图(3),函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
19.(12分)已知函数f(x)=2-x2,x<0,(x-1)2,0≤x<2,12x,2≤x≤4.
(1)作出函数图像的简图(不必列表,不必写作图过程),并写出函数的值域.
(2)若方程f(x)=a无解,写出a的取值范围,并求当a=13时x的值.
【解析】(1)如图.

由图可知函数的值域为(-∞,2].
(2)作直线y=a,由图可以发觉当a>2时,
直线y=a与函数y=f(x)无公共点,
故方程f(x)=a无解时,
则满足题意的a的取值范围是{a|a>2}.
当a=13时,f(x)=13.
当x<0时,由2-x2=13,
得x2=53,所以x=-153.
当0≤x<2时,由(x-1)2=13,得x=1±33.
当2≤x≤4时,由12x=13,得x=23(舍去).
综上所述,当a=13时,
x的值为-153或1+33或1-33.
【变式训练】已知函数f(x)=x+4,x≤0,x2-2x,0<x≤4,-x+2,x>4.
(1)求f(f(f(5)))的值.
(2)若f(x)=4,求x的值.
(3)画出函数f(x)的图像.
【解析】(1)由于5>4,所以f(5)=-5+2=-3.
由于-3<0,所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1.
由于0<1<4,
所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1,
即f(f(f(5)))=-1.
(2)若x≤0,则x+4=4,所以x=0.
若0<x≤4,则x2-2x=4,所以x2-2x-4=0,
所以x=1+5或x=1-5(舍去);
若x>4,则-x+2=4,所以x=-2(舍去).
综上可得：x=0或x=1+5.
(3)图像如图所示：

20.(13分)(2022·日照高一检测)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.争辩表明：“活水围网”养鱼时,某种鱼在确定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4(尾/立方米)时,v的值为2(千克/年);当4≤x≤20时,v是x的一次函数;当x达到20(尾/立方米)时,因缺氧等缘由,v的值为0(千克/年).
(1)当0<x≤20时,求函数v(x)的表达式.
(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.
【解析】(1)由题意：当0<x≤4时,v(x)=2;当4<x≤20时,设v(x)=ax+b,明显v(x)=ax+b在[4,20]是削减的,由已知得20a+b=0,4a+b=2,解得a=-18,b=52,
故函数v(x)=2,0<x≤4,x∈N*,-18x+52,4<x≤20,x∈N*.
(2)依题意并由(1)可得
f(x)=2x,0<x≤4,x∈N*,-18x2+52x,4<x≤20,x∈N*.
当0<x≤4时,f(x)是增加的,故f(x)max=f(4)=4×2=8;
当4<x≤20时,f(x)=-18x2+52x=-18(x2-20x)=-18(x-10)2+1008,f(x)max=f(10)=12.5.所以,当x=10时,f(x)的最大值为12.5.
21.(14分)(2022·西安高一检测)已知奇函数
f(x)=-x2+2x,x>0,0,　　　x=0,x2+mx,x<0.

(1)求实数m的值,并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图像.
(2)若函数y=f(x)在区间[-1,a-2]上是增加的,试确定a的取值范围.
【解析】(1)设x<0,则-x>0,f (-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
而f(x)为奇函数,故f(x)=-f(-x)=x2+2x(x<0),
由f(x)=-x2+2x,x>0,0,　　　x=0,x2+mx,x<0.知m=2.
函数y=f(x)的简图如图所示：

(2)由(1)中函数图像可知,
要使函数y=f(x)在区间[-1,a-2]上是增加的,
则a-2>-1,a-2≤1⇒1<a≤3,
故a的取值范围为(1,3].
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