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其次章综合测试(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)＝a，则f(x2)＝( )
A．a2 B．a
C．x2 D．x
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝a，∴函数f(x)为常数函数，
∴f(x2)＝a，故选B．
2．(2022～2021学年度广东珠海四中高一上学期月考)已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝( )
A．{x|x≥－2} B．{x|x<2}
C．{x|－2<x<2} D．{x|－2≤x<2}
[答案] D
[解析] 由题意得M＝{x|2－x>0}＝{x|x<2}，N＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，∴M∩N＝{x|－2≤x<2}．
3．在下列由M到N的对应中构成映射的是( )
[答案] C
[解析] 选项A中，集合M中的数3在集合N中没有数与之对应，不满足映射的定义；选项B中，集合M中的数3在集合N中有两个数a、b与之对应，选项D中，集合M中的数a在集合N中有两个数1、3与之对应不满足映射的定义，故选C．
4．(2022～2021学年度重庆南开中学高一上学期期中测试)已知f(＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x2－2x＋2 D．f(x)＝x2－2x
[答案] C
[解析] 令＋1＝t≥1，∴x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2
∴f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)．
5．(2022～2021学年度山东烟台高一上学期期中测试)若f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a>4 B．a<4
C．a≥4 D．a≤4
[答案] D
[解析] 函数f(x)的对称轴为x＝a－1，由题意得a－1≥3，∴a≥4.
6．已知一次函数y＝kx＋b为减函数，且kb<0，则在直角坐标系内它的大致图象是( )
[答案] A
[解析] 选项A图象为减函数，k<0，且在y轴上的截距为正，故b>0，满足条件．
7．对于“二分法”求得的近似解，精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关
[答案] B
[解析] ε越小，零点的精确度越高；重复计算次数与ε有关．
8．已知f(x)＝－3x＋2，则f(2x＋1)＝( )
A．－3x＋2 B．－6x－1
C．2x＋1 D．－6x＋5
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝－3x＋2，
∴f(2x＋1)＝－3(2x＋1)＋2＝－6x－1.
9．向高为H的水瓶中注水，注满为止，假如注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的外形是( )
[答案] B
[解析] 观看图象，依据图象的特点，发觉取水深h＝时，注水量V1>，即水深为水瓶高的一半时，实际注水量大于水瓶总容量的一半，A中V1<，C，D中V1＝，故选B．
10．(2022～2021学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈(－∞，0](x1≠x2)，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则( )
A．f(－2)<f(1)<f(3) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(3)<f(－2)<f(1) D．f(3)<f(1)<f(－2)
[答案] C
[解析] 由题意知，函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．又f(－2)＝f(2)，
∴f(3)<f(－2)<f(1)．
11．定义两种运算：a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，则f(x)＝为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
[答案] A
[解析] ∵a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，
∴f(x)＝＝＝，
∴在定义域R上，有
f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故选A．
12．(2022～2021学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则使<0的x的取值范围为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
[答案] D
[解析] 由f(x)为奇函数，
可知＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
则奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，
所以0<x<1或－1<x<0.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2022～2021学年度青海师范高校附属其次中学高一上学期月考)函数y＝＋的定义域是______________．
[答案] [1，＋∞)
[解析] 由题意得，
∴x≥1，故函数y＝＋的定义域为[1，＋∞)．
14．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似根时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定根所在的区间为________．
[答案] [1.5,2]
[解析] 令f(x)＝x3－2x－1，f(1.5)＝1.53－2×1.5－1<0，f(2)＝23－2×2－1＝3>0，∴f(1.5)·f(2)<0，故可以断定根所在的区间为[1.5,2]．
15．函数f(x)＝x2－mx＋m－3的一个零点是0，则另一个零点是________．
[答案] 3
[解析] ∵0是函数f(x)＝x2－mx＋m－3的一个零点，∴m－3＝0，∴m＝3.
∴f(x)＝x2－3x.
令x3－3x＝0，
得x＝0或3.故函数f(x)的另一个零点是3.
16．(2022～2021学年度江苏南通中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，且f(－a)＝6，则f(a)＝________.
[答案] －4
[解析] f(－a)＝a(－a)3＋b(－a)＋1＝－(a4＋ab)＋1＝6，
∴a4＋ab＝－5.
∴f(a)＝a4＋ab＋1＝－5＋1＝－4.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2022～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)设定义域为R的函数f(x)＝.
(1)在如图所示的平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调区间(不需证明)；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．
[解析] (1)画出函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0]，[1，＋∞)；单调递减区间为[0,1]．
(2)f(x)＝，
当－≤x≤0时，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝，
当0<x≤2时，f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(2)＝1，
∴函数f(x)在区间上的最大值为1，最小值为0.
18．(本小题满分12分)(2022～2021学年度河南省试验中学高一月考)用函数单调性定义证明f(x)＝x＋在x∈(0，)上是减函数．
[解析] 设任意x1∈(0，)，x2∈(0，)，且x1<x2.
f(x2)－f(x1)＝x2＋－x1－
＝(x2－x1)＋
＝(x2－x1)(1－)，
∵0<x1<x2<，∴x2－x1>0,0<x2x1<2，
∴1－<0，
∴(x2－x1)(1－)<0，
∴f(x2)<f(x1)．
即函数f(x)在(0，)上是减函数．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋3－b(a>0)在区间[1,3]上有最大值5和最小值2，求a、b的值．
[解析] 依题意， f(x)的对称轴为x＝1，函数f(x)在[1,3]上随着x的增大而增大，
故当x＝3时，该函数取得最大值，即f(x)max＝f(3)＝5,3a－b＋3＝5，
当x＝1时，该函数取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝2，即－a－b＋3＝2，
∴联立方程得，
解得a＝，b＝.
20．(本小题满分12分)(2022～2021学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在[－，2]上的最值；
(2)若函数f(x)在[－，2]上的最大值为1，求实数a的值．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝x2＋x－3＝(x＋)2－，
∴当x＝－时，f(x)min＝－，
当x＝2时，f(x)max＝3.
(2)函数f(x)的对称轴为x＝－a，当－a≤，即a≥时，
f(x)max＝f(2)＝4a－1＝1，∴a＝.
当－a>，即a<时，
f(x)max＝f(－)＝－3a＝1，∴a＝－.
∴实数a的值为－或.
21．(本小题满分12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓舞销售商订购，打算每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？
(2)当销售商一次订购x个零件时，该厂获得的利润为P元，写出P＝f(x)的表达式．
[解析] (1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x0个，则60－0.02(x0－100)＝51，解得x0＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．
(2)设一次订量为x个时，零件的实际出厂单价为W，工厂获得利润为P，由题意P＝(W－40)·x，
当0<x≤100时，W＝60；
当100<x<550时，W＝60－0.02(x－100)＝62－；
当x≥550时，W＝51.
当0<x≤100时，y＝(60－40)x＝20x；
∴当100<x<550时，y＝(22－)x＝22x－x2；
当x≥550时，y＝(51－40)x＝11x.
故y＝.
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点是x1和x2，求T＝x＋x的取值范围．
[解析] (1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，
∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根，
则，
解得k＝－2，经检验满足Δ≥0.
(2)若函数的两个零点为x1和x2，则x1和x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根，
∴，
则T＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－k2－10k－6
＝－(k＋5)2＋19(－4≤k≤－)
∴T在区间上的最大值是18，最小值为，
即T的取值范围为.
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