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第三章综合测试(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022～2021学年度北京丰台二中高一上学期期中测试)下列函数中，与函数＝有相同定义域的是( )
A．f(x)＝lnx B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ax(a>1)
[答案] A
[解析] 函数y＝的定义域为(0，＋∞)，函数f(x)＝lnx的定义域为(0，＋∞)，故选A．
2．化简的结果是( )
A．a B．
C．a2 D．
[答案] B
[解析] ＝＝＝(a)＝a＝.
3．(2022～2021学年度山西太原市高一上学期期中测试)下列不等式中正确的是( )
A．lg0.1>lg0.2 B．0.20.1<0.20.2
C．0.20.1>lg0.1 D．0.10.2>lg0.2
[答案] C
[解析] lg0.1<0,0.20.1>0，∴0.20.1>lg0.1，故选C．
4．已知x，y为正实数，则( )
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
[答案] D
[解析] 选项A,2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，故错误；选项B,2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy)≠2lg(x＋y)，故错误；选项C,2lgx·lgy＝(2lgx)lgy，故错误；选项D,2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，正确．
5．若集合A＝{y|y＝x，－1≤x≤1}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．∅ D．{1}
[答案] B
[解析] ∵y＝x，－1≤x≤1，∴－1≤y≤1，
∴A＝{y|－1≤y≤1}，又B＝{x|y＝}＝{x|x≤1}，
∴A∩B＝{x|－1≤x≤1}，故选B．
6. 的值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] C
[解析] 原式＝[(53) ＋(2－4)－＋(72) ]
＝(52＋22＋7) ＝36＝6.
7．(2022～2021学年度山东济宁兖州区高一期中测试)设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
[答案] B
[解析] ∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴f(1.5)·f(1.25)<0，故选B．
8．(2021·重庆文，3)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[答案] D
[解析] x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，
∴x>1或x<－3，故选D．
9．f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，则a等于( )
A． B．－1
C．－ D．0
[答案] C
[解析] 解法一： f(－x)＝lg(10－x＋1)－ax＝f(x)
＝lg(10x＋1)＋ax，
∴2ax＝lg(10－x＋1)－lg(10x＋1)＝lg
＝lg10－x＝－x，
∴(2a＋1)x＝0，又∵x∈R，∴2a＋1＝0，∴a＝－.
解法二：特值法：由题已知f(－1)＝f(1)，
即lg－a＝lg11＋a，∴2a＝lg－lg11＝lg＝－1，
∴a＝－.
10．函数y＝()的值域是( )
A．(－∞，0) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
[答案] B
[解析] ∵≥0，∴()≤1，
又∵()＞0，∴函数y＝()的值域为(0,1]．
11．(2021·山东文，10)设函数f(x)＝，若f[f()]＝4，则b＝( )
A．1 B．
C． D．
[答案] D
[解析] ∵＜1，∴f＝3×－b＝－b.
若－b≥1即b≤.则f＝2－b＝4，
∴－b＝2，∴b＝适合b≤，
若－b＜1即b＞，
则f＝3×－b＝4，∴b＝，
不符合b＞.故舍去，∴选D．
12．(2022～2021学年度山东临朐一中高一上学期月考)已知镭经过100年的剩余量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年的剩余量为y，则x、y的关系为( )
A．y＝(0.957 6) B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝()x D．y＝1－0.424 6100x
[答案] A
[解析] 本题考查指数函数的应用．设质量为1的镭经过1年的剩余量为上一年的r，则经过x年的剩余量为原来的rx.当x＝100时，r100＝0.957 6，
∴r＝(0.957 6)，
∴x、y的关系式为y＝(0.957 6) ，故选A．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2022～2021学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2,16)，则函数f(x)的解析式是______________．
[答案] f(x)＝x4
[解析] 设f(x)＝xα，则16＝2α，∴α＝4，∴f(x)＝x4.
14．计算(lg－lg25)÷100－＝________.
[答案] －20
[解析] (lg－lg25)÷100－＝(lg)÷10－1＝－2×10＝－20.
15．(2021～2022学年度徐州市高一期中测试)已知a＝()，b＝()，c＝log2，则a，b，c从小到大的排列为____________．
[答案] c<a<b
[解析] ∵函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，
∴()<()，又()>0，
c＝log2<log21＝0，∴c<a<b.
16．已知函数f(x)满足①对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)；②f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，则同时满足两个条件的函数可以为________．
[答案] f(x)＝2x(不惟一)
[解析] 由x1<x2时，f(x1)<f(x2)知函数f(x)为增函数，
又f(x1＋x2)＝f(x1)·(x2)可知是指数函数具有的性质．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)假如(m＋4)－<(3－2m) －，求m的取值范围．
[解析] ∵幂函数f(x)＝x－的定义域是(0，＋∞)，且在定义域上是减函数．
∴0<3－2m<m＋4，
∴－<m<，即m的取值范围是(－，)．
18．(本小题满分12分)(2022～2021学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)计算下列各式的值：
(1)8－＋2log23＋0；
(2)(lg5)2＋lg2·lg50.
[解析] (1)原式＝(23) －(－1)＋3＋1
＝4－＋1＋3＋1＝9－.
(2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)
＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2
＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝1.
19．(本小题满分12分)已知a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，求(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值．
[解析] (a＋1)－2＋(b＋1)－2
＝－2＋－2
＝－2＋－2＝2＋2
＝2＋2
＝×4＝.
20．(本小题满分12分)若－3≤x≤－，求f(x)＝·的最大值和最小值．
[解析] f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2＝2－.
又∵－3≤x≤－，∴≤log2x≤3.
∴当log2x＝时，f(x)min＝－；
当log2x＝3时， f(x)max＝2.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x2－1)＝logm(m>0，且m≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)推断f(x)的奇偶性．
[解析] (1)令x2－1＝t，则x2＝t＋1.
∵f(t)＝logm＝logm，
由>0，解得0<x2<2.
∴－1<x2－1<1，即－1<t<1，
∴f(x)＝logm(－1<x<1)．
(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝logm＝logm()－1
＝－logm＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
22．(本小题满分14分)家用电器(如冰箱)使用的氟化物释放到大气中会破坏臭氧层．经测试，臭氧的含量Q随时间t(年)的变化呈指数函数型，满足关系式Q＝Q0·e－0.002 5t，其中Q0是臭氧的初始量．
(1)随时间t(年)的增加，臭氧的含量是增加还是削减？
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消逝(参考数据：ln2≈0.693)?
[解析] (1)∵Q＝Q0·e－0.002 5t＝Q0·()0.002 5t，
又0<<1且Q0>0，
所以函数Q＝Q0·()0.002 5t在(0，＋∞)上是减函数．
故随时间t(年)的增加，臭氧的含量是削减的．
(2)由Q＝Q0·e－0.002 5t≤Q0，得
e－0.002 5t≤，即－0.002 5t≤ln，
所以t≥≈277，即277年以后将会有一半的臭氧消逝．
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