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第三章综合测试(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q等于( )
A．{3,0} B．{3,0,1}
C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}
[答案] B
[解析] ∵P∩Q＝{0}，∴0∈P,0∈Q，
∴log2a＝0，∴a＝1，∴b＝0.∴P∪Q＝{3,0,1}．
2．若3x＝2，则x等于( )
A．lg2－lg3 B．lg3－lg2
C． D．
[答案] D
[解析] ∵3x＝2，∴x＝log32＝ .
3．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b3 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18
[答案] C
[解析] 对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误，对于D，易知正确，故选C．
4．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>2}，B＝{y|y＝()x，x>0}，则A∩B＝( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(1，＋∞) D．∅
[答案] D
[解析] ∵x>2，∴y＝log2x>log22＝1，
∴A＝{y|y>1}．
又∵x>0，∴y＝()x<1，
∴B＝{y|0<y<1}，∴A∩B＝∅.
5．(2022～2021学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)依据表格中的数据，可以断定方程ex－x－2＝0的一个根所在区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[答案] C
[解析] 令f(x)＝ex－x－2，
∴f(2)＝7.39－2－2>0，f(1)＝2.72－1－2<0，故选C．
6．(2022～2021学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知a＝0.70.8，b＝log20.8，c＝1.10.8，则a、b、c的大小关系是( )
A．a<b<c B．b<a<c
C．a<c<b D．b<c<a
[答案] B
[解析] 0.70.8<0.70＝1，又0.70.8>0，∴0<0.70.8<1.
log20.8<log21＝0,1.10.8>1.10＝1，∴b<a<c.
7．已知函数f(x)＝，则f[f()]＝( )
A．－ B．
C．－8 D．8
[答案] D
[解析] f()＝log3＝log33－3＝－3，
f[f()]＝f(－3)＝()－3＝8，故选D．
8．小王今年花费5 200元买了一台笔记本电脑．由于电子技术的飞速进展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一，则三年后小王这台笔记本的价值为( )
A．5 200×()3元 B．5 200×()3元
C．5 200×()2元 D．5 200×()2元
[答案] B
[解析] 本题考查指数函数的应用．由于小王买笔记本电脑时的价格为5 200元，一年后还值5 200×元，再过一年还值5 200××元，三年后还值5 200×××＝5 200×()3元，故选B．
9．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为( )
A．{x|－1<x<0或x>1} B．{x|x<－1或0<x<1}
C．{x|x<－1或x>1} D．{x|－1<x<0或0<x<1}
[答案] D
[解析] ∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，从而函数f(x)的大致图象如图所示，则不等式x·[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1<x<0或0<x<1}．
10．已知函数f1(x)＝ax，f2(x)＝xa，f3(x)＝logax(其中a>0，a≠1)，在同始终角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是( )
[答案] B
[解析] A项，由幂函数的图象知a<0，与已知a>0不符；B项，由幂函数的图象知a>1，与对数函数的图象相符，正确；C项，由指数函数的图象知a>1，由对数函数的图象知0<a<1，冲突；D项，由指数函数的图象知0<a<1，由幂函数的图象知a>1，冲突．故选B．
11．给定函数①y＝x；②y＝ (x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案] B
[解析] y＝x在定义域上是增函数，y＝ (x＋1)在定义域上是减函数，y＝|x－1|＝，
所以其在区间(－∞，1)上单调递减，y＝2x＋1在定义域上是增函数，故在区间(0,1)上单调递减的函数是y＝log(x＋1)，y＝|x－1|，故选B．
12．假如一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1,1)、N(1,2)、P(2,1)、Q(2,2)、G(2，)中，可以是“好点”的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 设指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1)，对数函数g(x)＝logbx(b>0，b≠1)．
由指数函数的图象可知，f(x)的图象不过点M、P，
g(x)的图象不过点N，
∴点M、N、P确定不是“好点”．
若点Q是“好点”，则a2＝2，且logb2＝2，
∴a＝，b＝，故点Q是“好点”；
若点G是“好点”，则a2＝，logb2＝，
∴a＝，b＝4，故点G是“好点”．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2022～2021学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)函数f(x)＝＋log3(x＋1)的定义域是______________．
[答案] (－1,1)∪(1,4]
[解析] 由题意得，
∴－1<x<1或1<x≤4.
14．计算：＝________.
[答案] －1
[解析] 原式＝＝＝＝－1.
15．已知f(x)＝(a>0)，若f－1(x)的定义域是
，则f(x)的定义域是________．
[答案] [4,7]
[解析] f－1(x)的定义域即为f(x)的值域，
∴≤≤.
又a>0，∴4≤x≤7.
∴f(x)的定义域为[4,7]．
16．下列说法中，正确的是____________．
①任取a>0，均有3a>2a，
②当a>0，且a≠1，有a3>a2，
③y＝()－x是增函数，
④在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．
[答案] ①④
[解析] ∵幂函数y＝xa，当a>0时，
在(0，＋∞)上是增函数，
∵3>2，∴3a>2a，故①正确；
当a＝0.1时，0.13<0.12，故②错；
函数y＝()－x＝()x是减函数，故③错；
在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x＝()x的图象关于y轴对轴，故④正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2022～2021学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)计算下列各式的值．
(1)－2＋(1－)0＋；
(2).
[解析] (1)－2＋(1－)0＋＝＋1＋＝.
(2)
＝＝＝1.
18．(本小题满分12分)设f(x)＝，其中a是常数，且a>－1.推断函数f(x)的奇偶性．
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f(－x)＝＝＝.
若f(－x)＝f(x)，则＝，
∴2xa－1＝a－2x，解得a＝－1，而已知a>－1，
∴f(－x)＝f(x)不行能成立．
若f(－x)＝－f(x)，即＝－＝，
∴2xa－1＝2x－a，解得a＝1，符合题意，
则函数f(x)是奇函数．
综上可知，若a>－1，且a≠1，函数f(x)既不是奇函数也不偶函数，若a＝1时，函数f(x)为奇函数．
19．(本小题满分12分)(2022～2021学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝log2|x|.
(1)求函数f(x)的定义域及f(－)的值；
(2)推断函数f(x)的奇偶性；
(3)推断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明．
[解析] (1)由|x|>0，得x≠0，
∴函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f(－)＝log2|－|＝log2＝.
(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
(3)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明：设任意x1、x2∈(0，＋∞)，
且x1<x2，f(x2)－f(x1)＝log2|x2|－log2|x1|
＝log2x2－log2x1
＝log2，
∵x1>0，x2>0，x1<x2，
∴>1，∴log2>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
20．(本小题满分12分)要使函数y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上恒大于零，求a的取值范围．
[解析] 由题意，得1＋2x＋4xa>0在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a>－在x∈(－∞，1]上恒成立．
∵－＝－()2x－()x
＝－2＋，
又∵x∈(－∞，1]，∴()x∈[，＋∞)．
令t＝()x，
则f(t)＝－(t＋)2＋，t∈[，＋∞)．
∵f(t)在[，＋∞)上为减函数，
∴f(t)≤f()＝－(＋)2＋＝－，
即f(t)∈(－∞，－]．
∵a>f(t)，∴a>－.
故a的取值范围是(－，＋∞)．
21．(本小题满分12分)(2022～2021学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)已知定义在R上的奇函数f(x)＝.
(1)求实数m、n的值；
(2)推断f(x)的单调性，并证明．
[解析] (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴＝0，∴n＝1.
由f(－x)＝－f(x)，得＝，
∴＝，∴2＋m·2x＝m＋2x＋1，
即m＝2.
(2)函数f(x)在R上是减函数．
证明：由(1)知f(x)＝＝
＝－＋.
设任意x1∈R，x2∈R，且x1<x2，
则Δx＝x2－x1>0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝.
∵x1<x2，
∴0<2x1<2x2，2 x2＋1>0,2 x1＋1>0,2 x1－2 x2<0，
∴Δy<0，∴f(x)在R上是减函数．
22．(本小题满分14分)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份之间的函数关系式分别符合下列函数模型： f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2，(a1、a2、b1、b2∈R)．
(1)求f(x)、g(x)的表达式；
(2)在同始终角坐标系下画出函数f(x)和g(x)在区间[1,5]上的草图，并依据草图比较今年1－5月份甲、乙两个工厂利润的大小状况．
[解析] (1)依题意：由，有，
解得：a1＝4，b1＝－4，
∴f(x)＝4x2－4x＋6；
由，有，解得：a2＝，b2＝5.
∴g(x)＝·3x＋5＝3x－1＋5.
∴f(x)＝4x2－4x＋6，g(x)＝3x－1＋5.
(2)作函数f(x)与g(x)(1≤x≤5)的草图如图：
从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1<x<5时，有f(x)>g(x)．
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