2021高考数学(福建-理)一轮学案62-几何概型.docx

学案62　几何概型

导学目标： 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估量概率.2.了解几何概型的意义．

自主梳理
1．几何概型
假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．在几何概型中，大事A的概率计算公式
P(A)＝____________________________________________________________________.
求试验中几何概型的概率，关键是求得大事所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
3．要切实理解并把握几何概型试验的两个基本特点：
(1)无限性：在一次试验中，可能毁灭的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
4．古典概型与几何概型的区分
(1)相同点：基本大事发生的可能性都是________；
(2)不同点：古典概型的基本大事是有限个，是可数的；几何概型的基本大事是________，是不行数的．
自我检测
1．(2011·南阳调研)在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为(　　)
A. B. C. D.

2．(2011·福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)
A. B. C. D.
3.

如图所示，A是圆上确定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4．(2010·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
5．(2011·江西)小波通过做玩耍的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

探究点一　与长度有关的几何概型
例1　国家平安机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发觉30 min长的磁带上，从开头30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发觉，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从今处起往后的全部内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？

变式迁移1　在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．

探究点二　与角度有关的几何概型

例2　(2011·承德模拟)如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．

变式迁移2　

若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率”，答案还一样吗？

探究点三　与面积有关的几何概型
例3　两人商定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必需等迟到者40分钟方可离去，假如两人动身是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在商定时间内相见的概率．

变式迁移3　甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．假如甲船和乙船的停靠时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．

分类争辩与数形结合思想的应用
例　(12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.
(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；
(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．
多角度审题　本题第(1)问是古典概型问题，第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题．
【答题模板】
解　(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素，
∴a，b的取值的状况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，其次个数表示b的取值，即基本大事总数为12.[3分]
设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为大事A，
当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a>b.
当a>b时，a，b取值的状况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本大事数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率为P(A)＝＝.[6分]
(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个

矩形区域，
其面积SΩ＝2×3＝6.[8分]
设“方程f(x)＝0没有实根”为大事B，则大事B所构成的区域为M＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a<b}，即图中阴影部分的梯形，
其面积SM＝6－×2×2＝4.[10分]
由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)＝0没有实根的概率为P(B)＝＝＝.[12分]
【突破思维障碍】
1．古典概型和几何概型的区分在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．
2．用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．
【易错点剖析】
1．计算古典概型的概率时，列举基本大事应不重不漏．
2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要精确     无误．

1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．
2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与外形无关．
3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本大事空间可表示成可度量的区域Ω，大事A所对应的区域用A表示(A⊆Ω)，则P(A)＝.

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2009·辽宁)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)
A. B．1－ C. D．1－
2．(2011·天津和平区模拟)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　)
A. B. C. D.
3．(2010·青岛模拟)

如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足的大事为A，则大事A的概率为(　　)
A. B. C. D.
5．(2011·滨州模拟)在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·陕西)

从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M落在阴影部分的概率为________．
7．如图所示，半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．

8．(2011·济南模拟)在可行域内任取一点，规章如程序框图所示，则能输出数对(x，y)的概率是________．

三、解答题(共38分)
9．(12分)

已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；
(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．

10．(12分)甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．

11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；
(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．

学案62　几何概型
自主梳理
2.
4．(1)相等的　(2)无限个
自我检测
1．A　[∵AM 2∈[36,81]，∴AM∈[6,9]，
∴P＝＝＝.]
2．C　[这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为＝＝.
故选C.]
3．C　[当∠A′OA＝时，AA′＝OA，∴P＝＝.]
4.
解析　由|x|≤1，得－1≤x≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P＝＝.
5.
解析　∵去看电影的概率P1＝＝，
去打篮球的概率P2＝＝，
∴不在家看书的概率为P＝＋＝.
课堂活动区
例1　解题导引　解决概率问题先推断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本大事的无限性和每个基本大事发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关．
解　包含两个间谍谈话录音的部分在30 s和40 s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s之间时全部被擦掉，即在0到40 s之间，即0到 min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开头到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．
记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A的发生就是在0到 min时间段内按错键．
P(A)＝＝.
变式迁移1　
解析　

记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为大事A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得
P(A)＝＝.
例2　解题导引　假如试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为
P(A)＝.
解　在AB上取AC′＝AC，连接CC′，则

∠ACC′＝＝67.5°.
设A＝{在∠ACB内部作出一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC}，
则μΩ＝90°，μA＝67.5°，P(A)＝＝＝.
变式迁移2　解　不一样，这时M点可取遍AC′(长度与AC相等)上的点，
故此大事的概率应为＝.
例3　解题导引　解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．
对于几何概型的应用题，关键是构造出随机大事A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机大事的概率，依据实际问题的具体状况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域．
解　设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在商定的时间范围内相见．当且仅当|x－y|≤.

两人在商定时间内到达约见地点的全部可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在商定时间内相见的全部可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在商定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，
即P＝＝＝.
变式迁移3　解　设甲、乙两船到达时间分别为x、y，
则0≤x≤24,0≤y≤24且y－x≥4或y－x≤－4.
作出区域

设“两船无需等待码头空出”为大事A，
则P(A)＝
＝＝.
课后练习区
1．B　[当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求大事的概率为P(A)＝＝＝1－.]
2．C　[由于△ABC、△PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间，即构成一个几何概型，
∴所求的概率为＝.]
3．A　[S矩形OABC＝2π，S阴影＝sin xdx＝2，
由几何概型概率公式得P＝＝.]
4．A　[

满足0≤b≤4,0≤c≤4的区域的面积为4×4＝16，
由，
得，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为×(2＋4)×2＋×2×4＝10，故大事A的概率为＝.]
5．D　[

区域为△ABC内部(含边界)，则概率为
P＝＝＝.]
6.
解析　阴影部分的面积为S＝ʃ3x2dx＝x3|＝1，所以点M落在阴影区域的概率为.
7.
解析　由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm的圆环上，
圆环的面积为π×92－π×22＝77π，
故所求概率为＝.
8.
解析　依据题意易知输出数对(x，y)的概率即为满足x2＋y2≤的平面区域与不等式组所表示的平面区域面积的比，即P(A)＝＝.
9．解　(1)设CM＝x，
则0<x<a(不妨设BC＝a)．
若∠CAM<30°，则0<x<a，
故∠CAM<30°的概率为
P(A)＝＝.(6分)
(2)设∠CAM＝θ，则0°<θ<45°.
若∠CAM<30°，则0°<θ<30°，
故∠CAM<30°的概率为
P(B)＝＝.(12分)
10．解　

设大事A＝{有一艘轮船停靠泊位时必需等待一段时间}，以x轴和y轴分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则点(x，y)的全部可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，
由已知得大事A发生的条件是(8分)
作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
∵S正方形＝242＝576，
S阴影＝242－×202－×182＝214，(10分)
∴P(A)＝＝＝.
所以，甲、乙两船有一艘停靠泊位时必需等待一段时间的概率为.(12分)
11．解　(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本大事总数为N＝5×5＝25(个)．(2分)
函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.
由于大事“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以大事“a2≥4b”的概率为P＝.(7分)
(2)∵a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，∴a－b>1，此为几何概型，所以大事“f(1)>0”的概率为P＝＝.(14分)