资源描述
其次章 2.4 2.4.1
一、选择题
1．函数f(x)＝2x＋7的零点为( )
A．7 B．
C．－ D．－7
[答案] C
[解析] 令f(x)＝2x＋7＝0，得x＝－，
∴函数f(x)＝2x＋7的零点为－.
2．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 令x2＋x＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0，
∴方程无实数根，故函数f(x)＝x2＋x＋3无零点．
3．已知x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数g(x)＝ax2－bx的零点是( )
A．－1或1 B．0或－1
C．1或0 D．2或1
[答案] C
[解析] ∵x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，∴－a＋b＝0，∴a＝b.
∴g(x)＝ax2－ax＝ax(x－1)(a≠0)，
令g(x)＝0，得x＝0或x＝1，故选C．
4．(2022·湖北文，9)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
[答案] D
[解析] 令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x(x<0)，
∴f(x)＝.
∴g(x)＝.
当x≥0时，由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
当x<0时，由－x2－4x＋3＝0，得x＝－2－，
∴函数g(x)的零点的集合为{－2－，1,3}．
5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )
[答案] A
[解析] 由于函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观看四个图象，可知A中的图象对应的函数没有零点．
6．函数f(x)＝x－的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．很多个
[答案] C
[解析] 令f(x)＝0，即x－＝0，∴x＝±2.
故f(x)的零点有2个．
二、填空题
7．函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点，则m的值为________．
[答案]
[解析] 由题意，得2m－1＝0，∴m＝.
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点分别为－2、3，且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为______________．
[答案] f(x)＝x2－x－6
[解析] 由题设二次函数可化为y＝a(x＋2)(x－3)，又f(－6)＝36，∴36＝a(－6＋2)(－6－3)
∴a＝1，
∴f(x)＝(x＋2)(x－3)，即f(x)＝x2－x－6.
三、解答题
9．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－7x2＋6x＋1；
(2)f(x)＝4x2＋12x＋9.
[解析] (1)f(x)＝－7x2＋6x＋1＝－(7x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，即－(7x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－或x＝1.
∴f(x)＝－7x2＋6x＋1的零点是－，1.
(2)f(x)＝4x2＋12x＋9＝(2x＋3)2，
令f(x)＝0，即(2x＋3)2＝0，
解得x1＝x2＝－.
∴f(x)＝4x2＋12x＋9的零点是－.
10．已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且函数f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
[解析] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵f(0)＝3，∴c＝3.
又∵－＝2，∴－＝4.
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝(－)2－＝16－＝10，
∴a＝1，b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋3.
一、选择题
1．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．一个 B．两个
C．至少两个 D．无法推断
[答案] B
[解析] ∵函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，
∴f(x)在(0，＋∞)上的图象与x轴只有一个交点，
又∵f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，
∴f(x)在(－∞，0)上的图象与x轴也只有一个交点，
即f(－2)＝0，故选B．
2．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1、2，则实数f(x)＝cx2＋bx＋a的零点为( )
A．1,2 B．－1，－2
C．1， D．－1，－
[答案] C
[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1,2，则，∴＝－3，＝2，于是f(x)＝cx2＋bx＋a＝a(x2＋x＋1)＝a(2x2－3x＋1)＝a(x－1)(2x－1)，所以该函数的零点是1、，故选C．
3．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[答案] A
[解析] 本题考查函数的零点的推断问题．由于a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A．
4．方程mx2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0仅有一个负根，则m的取值范围是( )
A．(－3,0) B．[－3,0)
C．[－3,0] D．[－1,0]
[答案] C
[解析] 当m＝0时，x＝－<0成立，排解选项A、B，当m＝－3时，原方程变为－3x2－4x＝0，
两根为x1＝0，x2＝－，也符合题设．
二、填空题
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______.
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
[答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞)
[解析] 由表中给出的数据可以得到f(－2)＝0，f(3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f(－3)＝6>0，因此依据连续函数零点的性质知当x∈(－∞，－2)时都有f(x)>0，同理可得当x∈(3，＋∞)时也有f(x)>0，故使ax2＋bx＋c>0的自变量x的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m、m＋6，则实数c的值为________．
[答案] 9
[解析] f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－，
∵函数f(x)的值域为[0，＋∞)，
∴b－＝0，∴f(x)＝(x＋)2.
又∵关于x的方程f(x)＝c，有两个实根m，m＋6，
∴f(m)＝c，f(m＋6)＝c，∴f(m)＝f(m＋6)，
∴(m＋)2＝(m＋＋6)2，
∴(m＋)2＝(m＋)2＋12(m＋)＋36，
∴m＋＝－3.
又∵c＝f(m)＝(m＋)2，∴c＝9.
三、解答题
7．若函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，求实数a的取值集合．
[解析] ①当a－1＝0，即a＝1时，函数为y＝x＋2，明显该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
②当a－1≠0，即a≠1时，函数y＝(a－1)x2＋x＋2是二次函数．
∵函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，
∴关于x的方程为(a－1)x2＋x＋2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝1－8(a－1)＝0，解得a＝.
综上所述，实数a的取值集合是{a|a＝1或a＝}．
8．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
[解析] (1)∵关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点，则m＋6＝0，或
，
解得m＝－6或m≤－且m≠－6，
∴m的取值范围为m≤－.
(2)若函数有两个不同零点x1，x2，
则＋＝－4，即x1＋x2＝－4x1x2，
∴＝－，
解得m＝－3，阅历证m＝－3符合题意．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
