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第一章综合测试(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022～2021学年度宁夏育才中学高一上学期月考)方程组的解集是( )
A．(5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
[答案] D
[解析] 由，解得，故选D．
2．(2021·新课标Ⅱ理，1)已知集合A＝{－2，－1,0,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
[答案] A
[解析] 由已知得B＝{x|－2<x<1}，
故A∩B＝{－1,0}，故选A．
3．(2022～2021学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则集合A等于( )
A．{0} B．{0,1}
C．{1} D．∅
[答案] B
[解析] ∵U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}．
4．(2022～2021学年度德阳五中高一上学期月考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{3,4,5,6,7}，则P∪(∁UQ)＝( )
A．{1,2} B．{3,4,5}
C．{1,2,6,7} D．{1,2,3,4,5}
[答案] D
[解析] ∁UQ＝{1,2}，P∪(∁UQ)＝{1,2,3,4,5}．
5．(2021·重庆理，1)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．AB D．BA
[答案] D
[解析] 依据子集的定义，BA，故选D．
6．(2022～2021学年度河南洛阳市高一上学期期中测试)已知集合M＝{x|y＝2－x}，N＝{y|y＝x2}，则M∩N＝( )
A．∅ B．{(1,1)}
C．{x|x≥0} D．{y|y>0}
[答案] C
[解析] M＝{x|y＝2－x}＝R，
N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，
∴M∩N＝{x|x≥0}．
7．(2022·浙江文，1)设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝( )
A．(－∞，5] B．[2，＋∞)
C．(2,5) D．[2,5]
[答案] D
[解析] S∩T＝{x|x≥2}∩{x|x≤5}＝{x|2≤x≤5}，故选D．
8．已知A∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
[答案] B
[解析] ∵A∩{－1,0,1}＝{0,1}，∴0∈A,1∈A．
又∵A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，
∴－2,2可能是集合A的元素，也可能不是集合A的元素．
∴A＝{0,1}或A＝{0,1，－2}，或A＝{0,1,2}，或A＝{0,1，－2,2}．
9．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{1,3,4} B．{2,4}
C．{4,5} D．{4}
[答案] D
[解析] A∩B＝{1,2,3}∩{2,4}＝{2}，图中阴影部分所表示的集合是∁B(A∩B)＝{4}．
10．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则( )
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3
C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3
[答案] B
[解析] ∵A∩B＝{(2,5)}，∴(2,5)∈A，(2,5)∈B，
∴5＝2a＋1,5＝2＋b，∴a＝2，b＝3.
11．已知集合A＝{x|x2＋x＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围是( )
A．m<4 B．m>4
C．0<m<4 D．0≤m<4
[答案] A
[解析] ∵A∩R＝∅，∴A＝∅，
即方程x2＋x＋1＝0无解，∴Δ＝()2－4<0，
∴m<4.
12．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：
⊕
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
b
b
c
c
b
c
b
d
d
b
b
d
⊗
a
b
c
d
a
a
a
a
a
b
a
b
c
d
c
a
c
c
a
d
a
d
a
d
那么d⊗(a⊕c)＝( )
A．a B．b
C．c D．d
[答案] A
[解析] 由题中表格可知，a⊕c＝c，d⊗(a⊕c)＝d⊗c＝a，故选A．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．若{a,0,1}＝{c，，－1}，则a＝______，b________，c＝________.
[答案] －1 1 0
[解析] ∵≠0，∴c＝0，a＝－1，b＝1.
14．(2022～2021学年度江苏启东中学高一上学期月考)若集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝________.
[答案] {x|2<x<3}
[解析] A∩B＝{x|1<x<3}∩{x|2<x<4}
＝{x|2<x<3}．
15．已知U＝{2,3，a2＋6a＋13}，A＝{|a－1|,2}，∁UA＝{5}，则实数a＝________.
[答案] －2
[解析] ∵∁UA＝{5}，∴5∉A,5∈U，
∴，
即，或，
解得a＝－2.
16．有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有________人．
[答案] 2
[解析] 设两种都没买的有x人，由题意知，只买电视的有6人，只买电脑的有5人，两种均买了的有2人，∴6＋5＋2＋x＝15，∴x＝2.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)设全集U＝{x∈Z|0≤x≤10}，A＝{1,2,4,5,9}，B＝{4,6,7,8,10}，C＝{3,5,7}．
求：A∪B，(A∩B)∩C，(∁UA)∩(∁UB)．
[解析] U＝{x∈Z|0≤x≤10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
A∪B＝{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，
A∩B＝{4}，
(A∩B)∩C＝{4}∩{3,5,7}＝∅.
∁UA＝{0,3,6,7,8,10}，
∁UB＝{0,1,2,3,5,9}，
∴(∁UA)∩(∁UB)＝{0,3}．
18．(本小题满分12分)(2022～2021学年度青海师范高校附属其次中学高一上学期月考)已知全集U＝{x|x－2≥0或x－1≤0}，A＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x≤1或x>2}．
求：A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．
[解析] U＝{x|x≥2或x≤1}，
∴∁UA＝{x|x＝1或2≤x<3}，∁UB＝{x|x＝2}．
∴A∩B＝{x|x<1或x>3}，
A∪B＝{x|x≤1或x>2}，
(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x＝2}，
(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x＝1或2≤x<3}．
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，试求出实数k的值，并用列举法表示集合A．
[解析] ∵集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0只有一个实根或有两个相等的实数根．
①当k＝0时，方程－8x＋16＝0只有一个实数根2，此时A＝{2}．
②当k≠0时，由Δ＝(－8)2－64k＝0，
得k＝1，此时A＝{x|x2－8x＋16＝0}＝{4}．
综上可知，k＝0，A＝{2}或k＝1，A＝{4}．
20．(本小题满分12分)(2022～2021学年度河北正定中学高一上学期月考)已知全集U＝R，集合M＝{x|－1≤x≤4m－2}，P＝{x|x>2或x≤1}．
(1)若m＝2，求M∩P；
(2)若M∩P＝R，求实数m的取值范围．
[解析] (1)m＝2时，M＝{x|－1≤x≤6}，
∴M∩P＝{x|－1≤x≤1或2<x≤6}．
(2)若M∪P＝R，则有4m－2≥2，∴m≥1.
21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|x≤2a或x≥a＋1}，若(∁RB)⊆A，求实数a的取值范围．
[解析] ∵B＝{x|x≤2a或x≥a＋1}，
∴∁RB＝{x|2a<x<a＋1}．
当2a≥a＋1，即a≥1时，∁RB＝∅⊆A，
当2a<a＋1，即a<1时，∁RB≠∅，
要使∁RB⊆A，应满足a＋1≤－1或2a≥1，
即a≤－2或≤a<1.
综上可知，实数a的取值范围为a≤－2或a≥.
22．(本小题满分14分)已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围．
[解析] ∵A∩B≠∅，∴A≠∅，即方程x2－4ax＋2a＋6＝0有实数根，∴Δ＝(－4a)2－4(2a＋6)≥0，即(a＋1)(2a－3)≥0，
∴，或，解得a≥或a≤－1.①
又B＝{x|x<0}，∴方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负实数根．若方程x2－4ax＋2a＋6＝0没有负实数根，则需有，解得a≥.所以方程至少有一负实数根时有a<.②
由①②取得公共部分得a≤－1.即当A∩B≠∅时，a的取值范围为a≤－1.
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