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其次章 2.2 2.2.3
一、选择题
1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( )
A．y＝4x B．y＝－4x
C．y＝x D．y＝－x
[答案] A
[解析] 设正比例函数的解析式为y＝kx(k≠0)，
又点(2,8)在函数图象上，∴8＝2k，∴k＝4，故选A．
2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)、(3,4)，则这个函数的解析式为( )
A．y＝x－ B．y＝x＋
C．y＝－x＋ D．y＝－x－
[答案] B
[解析] 解法一：验证排解：点(1,3)不在直线y＝x－，y＝－x＋，y＝－x－上，故选B．
解法二：设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意得，解得，∴y＝x＋.
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其外形与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为( )
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
[答案] D
[解析] ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)、(3,0)，其外形与抛物线y＝－2x2相同，
∴a＝－2，∴y＝－2x2＋bx＋c，
将点(－1,0)、(3,0)代入y＝－2x2＋bx＋c，
得，解得b＝4，c＝6，
∴y＝－2x2＋4x＋6.
4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且顶点为(－2,8)，则f(x)＝( )
A．－2x2－8x B．2x2－8x
C．2x2＋8x D．－2x2＋8x
[答案] A
[解析] 由题意设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋8，又∵函数图象过原点，
∴4a＋8＝0，∴a＝－2，∴y＝－2x2－8x.
5．f(x)＝ax2＋bx＋c的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc＝( )
A．－6 B．11
C．－ D．
[答案] C
[解析] ∵f(x)图象过点(0,2)，∴c＝2.
又顶点为(4,0)，∴－＝4，＝0.
解得：b＝－1，a＝，∴abc＝－.
6．已知一个二次函数经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)点，则这个函数的解析式为( )
A．y＝x2－1 B．y＝1－x2
C．y＝x2＋1 D．y＝x2－1
[答案] A
[解析] 设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意，得，解得.
∴所求二次函数的解析式为y＝x2－1.
二、填空题
7．已知一个二次函数y＝f(x)，若f(0)＝3，f(－3)＝0，f(－5)＝0，则这个函数的解析式为__________．
[答案] y＝x2＋x＋3
[解析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点(0,3)、(－3,0)、(－5,0)代入可得a＝，b＝，c＝3.
8．已知6x2－x－1＝(2x－1)(ax＋b)，则a＝_______，b＝__________.
[答案] 3 1
[解析] ∵6x2－x－1＝(2x－1)(3x＋1)，
∴ax＋b＝3x＋1，∴a＝3，b＝1.
三、解答题
9．(2022～2021学年度青海师范高校附属其次中学高一上学期月考)已知函数f(x)＝x2＋px＋q，且满足f(1)＝f(2)＝0.
(1)求p、q的值；
(2)当f(a)＝6时，求a的值．
[解析] (1)∵f(1)＝f(2)＝0，∴
解得.
(2)由(1)知f(x)＝x2－3x＋2，
∴f(a)＝a2－3a＋2＝6，
∴a＝－1或a＝4.
10．抛物线经过点(2，－3)，它与x轴交点的横坐标是－1和3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)用配方法求出抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
(3)画出草图；
(4)观看图象，x取何值时，函数值小于零？x取何值时，函数值随x的增大而减小？
[解析] (1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，把点(2，－3)代入，得
－3＝a(2＋1)(2－3)，∴a＝1.
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.
(2)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.
由此可知抛物线的对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1，－4)．
(3)抛物线的草图如图所示．
(4)由图象可知，当x∈(－1,3)时，函数值y小于零；
当x∈(－∞，1]时，y随x的增大而减小.
一、选择题
1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则|OA|·|OB|等于( )
A． B．－
C．± D．无法确定
[答案] B
[解析] 由图象易知a<0，c>0，设A(x1,0)、B(x2,0)，∴|OA|·|OB|＝|x1·x2|＝－，故选B．
2．若直线y＝x＋n与直线y＝mx－1相交于点(1,2)，则有( )
A．n＝－，m＝ B．n＝1，m＝
C．n＝－，m＝－1 D．n＝，m＝3
[答案] D
[解析] 将点(1,2)分别代入可得n＝、m＝3.
3．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值为( )
A．0 B．0或1
C．0或1或9 D．0或1或9或12
[答案] C
[解析] 当a＝0时，y＝3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点；
当a≠0时，Δ＝(a－3)2－4a＝a2－10a＋9＝0，
∴a＝1或9.
4．已知正比例函数f(x)、反比例函数g(x)的图象均过点(1,5)，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝( )
A． B．
C． 5 D．
[答案] C
[解析] 设f(x)＝mx(m≠0)，g(x)＝(n≠0)，
把点(1,5)分别代入，得m＝5，n＝5.
∴h(x)＝f(x)＋g(x)＝5x＋＝5.
二、填空题
5．已知a、b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
[答案] 2
[解析] ∵f(x)＝x2＋4x＋3，∴f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝a2x2＋2abx＋b2＋4ax＋4b＋3
＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3
又∵f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，
∴，解得或.
当a＝1，b＝3时，5a－b＝2，
当a＝－1，b＝－7时，5a－b＝2.
6．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一个点的坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为________．
[答案]
[解析] ∵点(1,4)既在抛物线y＝ax2，又在直线y＝kx＋1上，
∴，解得，
∴抛物线方程为y＝4x2，直线方程为y＝3x＋1.
由，得或.
三、解答题
7．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f()＝8，试求此二次函数的解析式．
[解析] 解法一：设所求函数解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
依据题意，得，
解得a＝－4，b＝4，c＝7，∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝.又f()＝8，∴顶点坐标为(，8)．
则可设f(x)＝a(x－)2＋8，又f(2)＝－1.
∴a(2－)2＋8＝－1，∴a＝－4，
∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：由f(2)＝f(－1)＝－1，知f(x)＋1＝0的两根为2和－1，
可设f(x)＋1＝a(x＋1)(x－2)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1，
∵f()＝8，∴a－a－2a－1＝8，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.
8．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
[解析] (1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)关于x＝1对称，又f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
又f(0)＝3得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数在区间[2a，a＋1]上不单调，
则2a<1<a＋1，则0<a<.
(3)解法一：由已知，得
2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在x∈[－1,1]时恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在x∈[－1,1]时恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，
则只要g(x)min>0即可，
∵x∈[－1,1]，∴g(x)min＝g(1)＝－1－m，
∴－1－m>0，即m<－1.
故实数m的取值范围是{m|m<－1}．
解法二：由题意可知，x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
即m<x2－3x＋1＝(x－)－在[－1,1]上恒成立．
又g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]的最小值为－1.
∴m<－1.
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