资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．(2022·安徽芜湖质检)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为( )
A．3·2－2 B．2－4
C．3·2－10 D．2－8
解析：选C.E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝C··()11＝3·2－10.
2．(2022·孝感市高三统一考试)设随机变量ξ听从正态分布N(3，22)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为( )
A. B.
C．5 D．3
解析：选A.由题意，正态曲线关于直线x＝3对称，所以(2a－3)＋(a＋2)＝2×3，解得a＝.
3．(2022·甘肃嘉峪关质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )
A．5 B．5.25
C．5.8 D．4.6
解析：选B.由题意可知，X可以取3，4，5，6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.
4．袋中装有大小相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.依题意得，ξ的全部可能取值是0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
5．体育课的排球发球项目考试的规章是：每位同学最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则始终发到3次为止．设同学一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.发球次数X的分布列如下表：
X
1
2
3
P
p
(1－p)p
(1－p)2
所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，
解得p>(舍去)或p<.
又p>0，则0<p<.
二、填空题
6．(2022·安徽阜阳质检)某项玩耍活动的嘉奖分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该玩耍获得资金的期望为________元．
解析：a1＋2a1＋4a1＝1，∴a1＝，E(ξ)＝×700＋×560＋×420＝500(元)．
答案：500
7．已知某次英语考试的成果X听从正态分布N(116，82)，则10 000名考生中成果在140分以上的人数为________．
解析：由已知得μ＝116，σ＝8.
∴P(92＜X≤140)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，
∴P(X＞140)＝(1－0.997 4)＝0.001 3，
∴成果在140分以上的人数为13.
答案：13
8．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分．没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为，此人得分的数学期望与方差分别为________．
解析：记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，
则η～B(3，)，ξ＝10η，
∴E(ξ)＝10E(η)＝10×3×＝20，
D(ξ)＝100D(η)＝100×3××＝.
答案：20，
三、解答题
9．(2022·河北石家庄市高中毕业班质检)某市的训练争辩机构对全市高三同学进行综合素养测试，随机抽取了部分同学的成果，得到如图所示的成果频率分布直方图．
(1)估量全市同学综合素养成果的平均值；
(2)若评定成果不低于80分为优秀，视频率为概率，从全市同学中任选3名同学(看作有放回地抽样)，变量ξ表示3名同学中成果优秀的人数，求变量ξ的分布列及期望E(ξ)．
解：(1)依题意可知
55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08
＝74.6，
所以综合素养成果的平均值为74.6.
(2)由频率分布直方图知优秀率为10×(0.008＋0.022)
＝0.3，
由题意知，ξ～B(3，)，P(ξ＝k)＝C()k()3－k，
故其分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝3×＝.
10．(2022·武汉市高三供题训练)某争辩小组在电脑上进行人工降雨摸拟试验，预备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：
方式
实施地点
大雨
中雨
小雨
摸拟试验总次数
A
甲
4次
6次
2次
12次
B
乙
3次
6次
3次
12次
C
丙
2次
2次
8次
12次
假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响．
(1)求甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率；
(2)考虑到旱情和水土流失，假如甲地恰需中雨即能达到抱负状态，乙地必需是大雨才能达到抱负状态，丙地只要是小雨或中雨就能达到抱负状态，求降雨量达到抱负状态的地方个数的概率分布与数学期望．
解：(1)记“甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨”为大事A，则
P(A)＝××＝.
所以甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率为.
(2)甲、乙、丙三地能达到抱负状态的概率分别为、、，
记降雨量达到抱负状态的地方个数为ξ，则ξ的可能取值为0、1、2、3，
又P(ξ＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝，
P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
3
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[力气提升]
1．(2022·湖北省高三适应性考试)某车站每天上午支配A、B两种型号的客车运送旅客，A型车发车时刻可能是8：00，8：20，8：40；B型车发车时刻可能是9：00，9：20, 9：40.两种型号的车发车时刻是相互独立的．下表是该车站最近100天发车时刻统计频率表：
频 数
频 率
A型车8：00发车
25
0.25
A型车8：20发车
m
0.50
A型车8：40发车
25
0.25
B型车9：00发车
25
0.25
B型车9：20发车
50
0.50
B型车9：40发车
25
n
(1)直接写出表中的m，n的值；
(2)某旅客8：10到达车站乘车，依据上表反映出的客车发车规律，
①求该旅客能乘上A型客车的概率；
②求该旅客候车时间ξ(单位：分钟)的分布列和数学期望．(注：将频率视为概率)
解：(1)m＝50，n＝0.25.
(2)①设某旅客8：20，8：40乘上车分别为大事A，B，则A，B互斥．
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
②可能取值为ξ＝10，30，50，70，90，则
P(ξ＝10)＝，P(ξ＝30)＝，
P(ξ＝50)＝×＝，
P(ξ＝70)＝×＝，
P(ξ＝90)＝×＝.
故ξ的分布列是
ξ
10
30
50
70
90
P
∴E(ξ)＝10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝30.
2．(2022·武汉市高三供题)某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参与学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)在男生甲被选中的状况下，求女生乙也被选中的概率．
解：(1)ξ的可能取值为0，1，2，依题意得：
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为大事C，则
P(C)＝＝，
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝.
(3)设“男生甲被选中”为大事A，“女生乙被选中”为大事B，则
P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴在男生甲被选中的状况下，女生乙也被选中的概率为P(B|A)＝＝.
3．(2022·北京东城区统一检测)为迎接6月16日的“全国爱眼日”，某高中学校同学会随机抽取16名同学，经校医用对数视力表检查得到每个同学的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.
同学视力测试结果
4
3
5
6
6
6
7
7
7
8
8
9
9
5
0
1
1
2
(1)写出这组数据的众数和中位数；
(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；
(3)以这16人的样本数据来估量整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”同学的人数，求X的分布列及数学期望．
解：(1)由题意知众数为4.6和4.7；中位数为4.75.
(2)设Ai表示所选3人中有i个人是“好视力”，至少有2人是“好视力”记为大事A，
则P(A)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(3)X的可能取值为0，1，2，3.由于该校人数很多，故X近似听从二项分布B(3，)．
P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝C××()2＝，
P(X＝2)＝C×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
故X的数学期望E(X)＝3×＝.
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