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突破练(二)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m＝(a，c)，n＝(cos C，cos A)．
(1)若m∥n，c＝a，求角A；
(2)若m·n＝3bsin B，cos A＝，求cos C的值．
解 (1)∵m∥n，∴acos A＝ccos C.
由正弦定理得sin Acos A＝sin Ccos C，
化简得sin 2A＝sin 2C.
∵A，C∈(0，π)，∴2A＝2C(舍)或2A＋2C＝π，
∴A＋C＝，∴B＝，
在Rt△ABC中，tan A＝＝，A＝.
(2)∵m·n＝3bcos B，∴acos C＋ccos A＝3bsin B.
由正弦定理得sin Acos C＋sin Ccos A＝3sin2B，
从而sin(A＋C)＝3sin2B.
∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋C)＝sin B，从而sin B＝，
∵cos A＝>0，A∈(0，π)，∴A∈，sin A＝.
∵sin A>sin B，∴a>b，从而A>B，B为锐角，
cos B＝.
∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B
＝－×＋×＝.
2．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．
(1)求证：BF∥平面A1EC；
(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.
证明 (1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA＝OC1.
又由于F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF＝CC1.
由于E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝CC1，
所以BE∥OF且BE＝OF，
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.
又BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，所以BF∥平面A1EC.
(2)由(1)知BF∥OE，由于AB＝CB，
F为AC的中点，
所以BF⊥AC，所以OE⊥AC.
又由于AA1⊥底面ABC，而BF⊂底面ABC，
所以AA1⊥BF.
由BF∥OE得OE⊥AA1，而AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A，
所以OE⊥平面ACC1A1.
由于OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
3. 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相像椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相像椭圆”．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)
(1)解 由题意可知A1(－，0)，A2(，0)，
椭圆C1的离心率e＝.
设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝.
由于＝＝，所以a＝2.
所以椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)证明 设P(x0，y0)，y0≠0，则＋＝1，从而y＝12－2x.
将x＝x0代入＋＝1得＋＝1，从而y2＝3－＝，即y＝±.
由于P，H在x轴的同侧，所以取y＝，即H(x0，)．
所以kA1P·kA2H＝·＝＝＝－1，从而A1P⊥A2H.
又由于PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心．
4．如图，某园林单位预备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.
(1)用a，θ表示S1和S2；
(2)当a固定，θ变化时，求的最小值．
解 (1)S1＝asin θ·acos θ＝a2sin 2θ，
设正方形边长为x，则BQ＝，RC＝xtan θ，
∴＋xtan θ＋x＝a，
∴x＝＝，
S2＝2＝，
(2)当a固定，θ变化时，＝，
令sin 2θ＝t，则＝(0＜t≤1)，
利用单调性求得t＝1时，min＝.
5．已知函数f(x)＝aln x－(a为常数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，
所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.
(2)由f′(x)＝(x＞0)，当a≥0时，
f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
当a＜0时，
由f′(x)＞0，得0＜x＜－，
所以f(x)的单调增区间为；
由f′(x)＜0，得x＞－，
所以f(x)的单调减区间为.
(3)设g(x)＝aln x－－2x＋3，x∈[1，＋∞)，
则g′(x)＝＋－2＝.
令h(x)＝－2x2＋ax＋1，考虑到h(0)＝1＞0，
当a≤1时，
h(x)＝－2x2＋ax＋1的对称轴x＝＜1，
h(x)在[1，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，
所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，
所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x2－3恒成立．
当a＞1时，
令h(x)＝－2x2＋ax＋1＝0，
得x1＝＞1，x2＝＜0，
当x∈[1，x1)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，
g(x)在[1，x1)上是增函数；
当x∈(x1，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，
g(x)在(x1，＋∞)上是减函数．
所以0＝g(1)＜g(x1)，即f(x1)＞2x1－3，不满足题意．
综上，a的取值范围为a≤1.
6．已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3＝(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式；
(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的确定值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合．
(ⅰ)求a1，a2的值；
(ⅱ)求数列{an}的通项公式．
解 (1)设无穷等差数列{an}的公差为d，由于S＝(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：
由于数列{an}的各项均为正整数，所以d≥0.
可得a1＝1，d＝0或d＝2.
当a1＝1，d＝0时，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；
当a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.
因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1.
(2)(ⅰ)记An＝{1,2，…，Sn}，明显a1＝S1＝1.
对于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1,2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1,2,3,4}，
故1＋a2＝4，所以a2＝3.
(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述规章，共产生Sn个正整数．
而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述规章产生的Sn＋1个正整数中，除1,2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an－1，an＋1＋i，|an＋1－i|(i＝1,2，…，Sn)，共2Sn＋1个数．
所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1.
又Sn＋1＋＝3，所以Sn＝·3n－1－＝·3n－.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝·3n－－＝3n－1.
而a1＝1也满足an＝3n－1.
所以，数列{an}的通项公式是an＝3n－1.
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