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突破练(四)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.
(1)求的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．
解 (1)由正弦定理可设＝＝＝＝＝，所以a＝sin A，b＝sin B，
所以＝＝.
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.
解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．
所以S△ABC＝absin C＝×4×＝.
2．如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面相互垂直，EF∥BD，AB＝EF.
(1)求证：BF∥平面ACE；
(2)求证：BF⊥BD.
证明 (1)设AC与BD交于O点，连接EO.
正方形ABCD中，BO＝AB，又由于AB＝EF，
∴BO＝EF，又由于EF∥BD，
∴EFBO是平行四边形，
∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，
∴BF∥平面ACE.
(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又由于正方形ABCD和三角形ACE所在的平面相互垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，
∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，
∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.
3. 如图，已知椭圆C：＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成矩形的两个顶点．
(1)设P是椭圆C上任意一点，若＝m＋n，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；
(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，摸索求△OMN的面积是否为定值，说明理由．
(1)证明 易求A(2,1)，B(－2,1)．
设P(x0，y0)，则＋y＝1.由＝m＋n，得
所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．
(2)解 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝kOA·kOB＝－.
平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.
由于直线MN的方程为(x2－x1)y－(y2－y1)x＋x1y2－x2y1＝0，
所以O到直线MN的距离为
d＝，
所以△OMN的面积S＝MN·d
＝|x1y2－x2y1|
＝
＝
＝＝1.
故△OMN的面积为定值1.
4．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|.
(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)．
解 (1)由题意得，w(t)＝f(t)·g(t)＝(115－|t－15|)(1≤t≤30，t∈N*)．
(2)由于w(t)＝
①当1≤t＜15时，w(t)＝(t＋100)＝4＋401≥4×2＋401＝441，
当且仅当t＝，即t＝5时取等号．
②当15≤t≤30时，w(t)＝(130－t)＝519＋，
可证w(t)在t∈[15,30]上单调递减，所以当t＝30时，w(t)取最小值为403.
由于403＜441，所以该城市旅游日收益的最小值为403万元．
5．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}及{bn}的通项公式；
(2)是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{an－logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 (1)n＝1时，8a1＝a＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3.
当n≥2时，8Sn－1＝a＋4an－1＋3，
an＝Sn－Sn－1＝(a＋4an－a－4an－1)，
从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0
由于{an}各项均为正数，所以an－an－1＝4.
所以，当a1＝1时，an＝4n－3；当a1＝3时，an＝4n－1.
又由于当a1＝1时，a1，a2，a7分别为1,5,25，构成等比数列，
所以an＝4n－3，bn＝5n－1.
当a1＝3时，a1，a2，a7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．
(2)存在满足条件的a，理由如下：
由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，从而
an－logabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)·loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.
由题意，得4－loga5＝0，所以a＝.
6．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；
(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值．
解 (1)由于f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，
又由于－2≤x≤－1，
所以a≥max在x∈[－2，－1]时恒成立，由于＝≤，
所以a≥.
(2)由于f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，
所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.
①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；
②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，
所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；
③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．
(3)由于f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝
①若a≥－，则x∈[2,4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，从而g(x)的最小值为g(2)＝2a＋4；
②若 a＜－，则x∈[2,4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2＋2ax＋1，
当－2≤a＜－时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5，
当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a2，
当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.
③若－≤a＜－，则x∈[2,4]时，
g(x)＝
当x∈[2,1－2a)时，g(x)最小值为g(2)＝4a＋5；
当x∈[1－2a,4]时，g(x)最小值为g(1－2a)＝2－2a.
由于－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，
所以g(x)最小值为4a＋5，
综上所述，[g(x)]min＝
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