资源描述
突破练(三)
1．设向量a＝(2，sin θ)，b＝(1，cos θ)，θ为锐角．
(1)若a·b＝，求sin θ＋cos θ的值；
(2)若a∥b，求sin的值．
解 (1)由于a·b＝2＋sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝.
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝.
又由于θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝.
(2)法一 由于a∥b，所以tan θ＝2.
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.
所以sin＝sin 2θ＋cos 2θ
＝×＋×
＝.
法二 由于a∥b，所以tan θ＝2.
所以sin θ＝，cos θ＝.
因此sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.
所以sin＝sin 2θ＋cos 2θ
＝×＋×
＝.
2．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上，且PE＝2EB.
(1)求证：平面PAB⊥平面PCB；
(2)求证：PD∥平面EAC.
证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB.
(2)∵PA⊥底面ABCD，又AD⊂平面ABCD，
∴PA⊥AD.
又∵PC⊥AD，又PC∩PA＝P，∴AD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，
∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝，
∴∠DCA＝∠BAC＝.又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC＝AC＝(AB)＝2AB.
连接BD，交AC于点M，连接EM，则＝＝2.
在△BPD中，＝＝2，
∴PD∥EM
又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，
∴PD∥平面EAC.
3．如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0,1)．
(1)求k1·k2的值；
(2)求MN的最小值；
(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．
解 (1)由于e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
设椭圆上点P(x0，y0)，有＋y＝1，
所以k1·k2＝·＝＝－.
(2)由于M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，
由方程知＋y2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，
所以kBM·kAN＝·＝，
又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－，所以x1x2＝－12，
不妨设x1＜0，则x2＞0，则
MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋≥2＝4，
所以当且仅当x2＝－x1＝2时，MN取得最小值4.
(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，
则以MN为直径的圆的方程为
(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，
即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，
则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，
所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2)．
4．某商场对A品牌的商品进行了市场调查，估计2021年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：
P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)．
(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；
(2)若第x月的销售量g(x)＝
(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，估计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403)
解 (1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.
当x≥2时，
f(x)＝P(x)－P(x－1)
＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)
＝3x(14－x)．
∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．
(2)设月利润为h(x)，
h(x)＝q(x)·g(x)
＝
h′(x)＝
∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0，
当6＜x＜7时，h′(x)＜0，
∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12 090，
∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，
∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)≈2 987.
综上，估计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元．
5．已知函数f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝aln x，a∈R.
(1)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范围；
(2)设F(x)＝若P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y＝F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．
解 (1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x.
由于x∈[1，e]，ln x≤1≤x，且等号不能同时取得，所以ln x＜x，x－ln x＞0.
从而a≤恒成立，a≤min.
设t(x)＝，x∈[1，e]．求导，得t′(x)＝.
x∈[1，e]，x－1≥0，ln x≤1，x＋2－2ln x＞0，从而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数．
所以t(x)min＝t(1)＝－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]．
(2)F(x)＝
设P(t，F(t))为曲线y＝F(x)上的任意一点．
假设曲线y＝F(x)上存在一点Q(－t，F(－t))，使∠POQ为钝角，
则·＜0.
①若t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，aln(－t))，·＝－t2＋aln(－t)·(－t3＋t2)．
由于·＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1.
当t＝－1时，a(1－t)ln(－t)＜1恒成立．
当t＜－1时，a＜恒成立．由于＞0，所以a≤0.
②若－1＜t＜1，且t≠0，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，t3＋t2)，则·＝－t2＋(－t3＋t2)·(t3＋t2)＜0，
即t4－t2＋1＞0对－1＜t＜1，且t≠0恒成立．
③当t≥1时，同①可得a≤0.
综上所述，a的取值范围是(－∞，0]．
6．已知数列{an}的前三项分别为a1＝5，a2＝6，a3＝8，且数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋m＝(S2n＋S2m)－(n－m)2，其中m，n为任意正整数．
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)求满足S－an＋33＝k2的全部正整数k，n.
解 (1)在等式Sm＋n＝(S2n＋S2m)－(n－m)2中，分别令m＝1，m＝2，得
Sn＋1＝(S2n＋S2)－(n－1)2，①
Sn＋2＝(S2n＋S4)－(n－2)2，②
②－①，得an＋2＝2n－3＋.
在等式Sn＋m＝(S2n＋S2m)－(n－m2)中，令n＝1，m＝2，得S3＝(S2＋S4)－1，由题设知，S2＝11，S3＝19，故S4＝29.
所以an＋2＝2n＋6(n∈N*)，即an＝2n＋2(n≥3，n∈N*)．
又a2＝6也适合上式，故an＝
Sn＝即Sn＝n2＋3n＋1，n∈N*.
(2)记S－an＋33＝k2(*)．
n＝1时，无正整数k满足等式(*)．
n≥2时，等式(*)即为(n2＋3n＋1)2－3(n－10)＝k2.
①当n＝10时，k＝131.
②当n＞10时，则k＜n2＋3n＋1，
又k2－(n2＋3n)2＝2n2＋3n＋31＞0，所以k＞n2＋3n.
从而n2＋3n＜k＜n2＋3n＋1.
又由于n，k∈N*，所以k不存在，从而无正整数k满足等式(*)．
③当n＜10时，则k＞n2＋3n＋1，由于k∈N*，所以k≥n2＋3n＋2.
从而(n2＋3n＋1)2－3(n－10)≥(n2＋3n＋2)2.
即2n2＋9n－27≤0.由于n∈N*，所以n＝1或2.
n＝1时，k2＝52，无正整数解；
n＝2时，k2＝145，无正整数解．
综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n＝10，k＝131.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
