2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：突破练3.docx

突破练(三)1设向量a(2，sin )，b(1，cos )，为锐角(1)若ab，求sin cos 的值；(2)若ab，求sin的值解(1)由于ab2sin cos ，所以sin cos .所以(sin cos )212sin cos .又由于为锐角，所以sin cos .(2)法一由于ab，所以tan 2.所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2.所以sinsin 2cos 2 .法二由于ab，所以tan 2.所以sin ，cos .因此sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2.所以sinsin 2cos 2 .2如图，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，PCAD，底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC，PAABBC，点E在棱PB上，且PE2EB.(1)求证：平面PAB平面PCB；(2)求证：PD平面EAC.证明(1)PA底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，又ABBC，PAABA，BC平面PAB.又BC平面PCB，平面PAB平面PCB.(2)PA底面ABCD，又AD平面ABCD，PAAD.又PCAD，又PCPAP，AD平面PAC，又AC平面PAC，ACAD.在梯形ABCD中，由ABBC，ABBC，得BAC，DCABAC.又ACAD，故DAC为等腰直角三角形DCAC(AB)2AB.连接BD，交AC于点M，连接EM，则2.在BPD中，2，PDEM又PD平面EAC，EM平面EAC，PD平面EAC.3如图，椭圆1(ab0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0,1)(1)求k1k2的值；(2)求MN的最小值；(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由解(1)由于e，b1，解得a2，所以椭圆C的标准方程为y21.设椭圆上点P(x0，y0)，有y1，所以k1k2.(2)由于M，N在直线l：y2上，设M(x1，2)，N(x2，2)，由方程知y21知，A(0,1)，B(0，1)，所以kBMkAN，又由(1)知kANkBMk1k2，所以x1x212，不妨设x10，则x20，则MN|x1x2|x2x1x224，所以当且仅当x2x12时，MN取得最小值4.(3)设M(x1，2)，N(x2，2)，则以MN为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(y2)20，即x2(y2)212(x1x2)x0，若圆过定点，则有x0，x2(y2)2120，解得x0，y22，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，22)4某商场对A品牌的商品进行了市场调查，估计2021年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：P(x)x(x1)(412x)(x12且xN*)(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；(2)若第x月的销售量g(x)(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)，问：该商场销售A品牌商品，估计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6403)解(1)当x1时，f(1)P(1)39.当x2时，f(x)P(x)P(x1) x(x1)(412x)(x1)x(432x) 3x(14x)f(x)3x242x(x12，xN*)(2)设月利润为h(x)，h(x)q(x)g(x) h(x)当1x6时，h(x)0，当6x7时，h(x)0，当1x7且xN*时，h(x)max30e612 090，当7x8时，h(x)0，当8x12时，h(x)0，当7x12且xN*时，h(x)maxh(8)2 987.综上，估计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元5已知函数f(x)x3x2，g(x)aln x，aR.(1)若对任意x1，e，都有g(x)x2(a2)x恒成立，求a的取值范围；(2)设F(x)若P是曲线yF(x)上异于原点O的任意一点，在曲线yF(x)上总存在另一点Q，使得POQ中的POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围解(1)由g(x)x2(a2)x，得(xln x)ax22x.由于x1，e，ln x1x，且等号不能同时取得，所以ln xx，xln x0.从而a恒成立，amin.设t(x)，x1，e求导，得t(x).x1，e，x10，ln x1，x22ln x0，从而t(x)0，t(x)在1，e上为增函数所以t(x)mint(1)1，所以a的取值范围是(，1(2)F(x)设P(t，F(t)为曲线yF(x)上的任意一点假设曲线yF(x)上存在一点Q(t，F(t)，使POQ为钝角，则0.若t1，P(t，t3t2)，Q(t，aln(t)，t2aln(t)(t3t2)由于0恒成立，a(1t)ln(t)1.当t1时，a(1t)ln(t)1恒成立当t1时，a恒成立由于0，所以a0.若1t1，且t0，P(t，t3t2)，Q(t，t3t2)，则t2(t3t2)(t3t2)0，即t4t210对1t1，且t0恒成立当t1时，同可得a0.综上所述，a的取值范围是(，06已知数列an的前三项分别为a15，a26，a38，且数列an的前n项和Sn满足Snm(S2nS2m)(nm)2，其中m，n为任意正整数(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)求满足San33k2的全部正整数k，n.解(1)在等式Smn(S2nS2m)(nm)2中，分别令m1，m2，得Sn1(S2nS2)(n1)2，Sn2(S2nS4)(n2)2，得an22n3.在等式Snm(S2nS2m)(nm2)中，令n1，m2，得S3(S2S4)1，由题设知，S211，S319，故S429.所以an22n6(nN*)，即an2n2(n3，nN*)又a26也适合上式，故anSn即Snn23n1，nN*.(2)记San33k2(*)n1时，无正整数k满足等式(*)n2时，等式(*)即为(n23n1)23(n10)k2.当n10时，k131.当n10时，则kn23n1，又k2(n23n)22n23n310，所以kn23n.从而n23nkn23n1.又由于n，kN*，所以k不存在，从而无正整数k满足等式(*)当n10时，则kn23n1，由于kN*，所以kn23n2.从而(n23n1)23(n10)(n23n2)2.即2n29n270.由于nN*，所以n1或2.n1时，k252，无正整数解；n2时，k2145，无正整数解综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n10，k131.