资源描述
1．已知函数f(x)＝Asin (ωx－)(ω＞0)相邻两个对称轴之间的距离是，且满足，f()＝.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sin B＝sin C，a＝2，f(A)＝1，求△ABC的面积．
解 (1)由题意知周期T＝π，∴ω＝2，
由于f()＝，所以A＝2，f(x)＝2sin (2x－)，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由题意b＝c，f(A)＝2sin ＝1，
∴sin ＝，
∵ －＜2A－＜，∴A＝或，
由于△ABC为钝角三角形，所以A＝舍去，故A＝，
∵a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴4＝3c2＋c2－2c2×＝c2，
所以c＝2，b＝2，S△ABC＝×2×2×＝.
2．已知正项等比数列{an}满足a2＝，a4＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝log3anlog3an＋1，求数列的前n项和Tn.
解 (1)设公比为q.∵＝＝q2，
∴q＝或q＝－.
又数列{an}为正项等比数列，∴q＝.
又∵a2＝. ∴a1＝，
∴an＝n，n∈N*.
(2)∵bn＝log3an·log3an＋1，n∈N*，
∴bn＝n(n＋1)，n∈N*.
∴＝＝－.
∴Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
3．某市训练局为了了解高三同学体育达标状况，在某学校的高三同学体育达标成果中随机抽取100个进行调研，按成果分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示．
若要在成果较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名同学进行复查．
(1)已知同学甲和同学乙的成果均在第四组，求同学甲和同学乙至少有一人被选中复查的概率；
(2)在已抽取到的6名同学中随机抽取3名同学接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名同学接受篮球项目的考核，求ξ的分布列和数学期望．
解 (1)设“同学甲和同学乙至少有一人参与复查”为大事A，
第三组人数为100×0.06×5＝30，第四组人数为100×0.04×5＝20，第五组人数为100×0.02×5＝10，依据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，第四组的同学甲和同学乙至少有1人进入复查，
则：P(A)＝＝.
(2)第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
且P(ξ＝i)＝(i＝0、1、2、3)，则随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
4.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝4，BD＝2，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：平面PBC⊥平面PBD；
(2)若二面角P－BC－D大
小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．
(1)证明 ∵CD2＝BC2＋BD2.∴BC⊥BD.
又∵PD⊥底面ABCD.∴PD⊥BC.
又∵PD∩BD＝D.∴BC⊥平面PBD.
而BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD.
(2)解 由(1)所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面P－BC－D的平面角，即∠PBD＝.
而BD＝2，所以PD＝2.
由于底面ABCD为平行四边形，所以DA⊥DB，
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，B(0,2，0)，C(－2,2，0)，P(0,0,2)，
所以，＝(－2,0,2)，＝(－2,0,0)，
＝(0，－2，2)，
设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则
即
令b＝1则n＝(0,1,1)，
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sin θ＝＝＝.
5．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－2y＋3＝0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满＝＋(1－)，设动点N的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．
解 (1)设动点N(x，y)，A(x0，y0)，由于AM⊥x轴于M，所以M(x0,0)，设圆C1的方程为x2＋y2＝r2，由题意得r＝＝3，
所以圆C1的方程为x2＋y2＝9，
由题意，＝＋(1－)，
得(x，y)＝(x0，y0)＋(1－)(x0,0)，
所以即
将A(x，y)代入x2＋y2＝9，得动点N的轨迹方程＋＝1.
(2)由题意可设直线l：2x＋y＋m＝0，设直线l与椭圆
＋＝1交于B(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立方程得13x2＋12mx＋3m2－9＝0，
Δ＝144m2－13×4(3m2－9)＞0，解得m2＜39，
x1,2＝＝，
又由于点O到直线l的距离d＝，
BD＝·|x1－x2|＝·，
所以S△OBD＝···
＝＝≤(当且仅当m2＝39－m2即m2＝时取到最大值)．
所以△OBD面积的最大值为.
6．已知函数f(x)＝函数f(x)在x＝0处取得极值1.
(1)求实数b，c的值；
(2)求f(x)在区间[－2,2]上的最大值．
解 (1)由题意当x＝0时，f(0)＝c－1＝1，∴c＝2，
当x＜1时，f′(x)＝－2e2x＋b，
依题意得f′(0)＝－2e0＋b＝0，∴b＝2，
经检验符合条件．
(2)由(1)知，f(x)＝
①当－2≤x≤1时，f(x)＝－e2x＋2x＋2，f′(x)＝－2e2x＋2，令f′(x)＝0得x＝0，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,1)
1
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－e－4－2
递增
极大值1
递减
4－e2
由上表可知f(x)在[－2,1]上的最大值为1.
②当1＜x≤2时，f(x)＝a(x2ln x－x＋1)＋1.
f′(x)＝a(2xln x＋x－1)，令g(x)＝2xln x＋x－1，
当1＜x≤2时，明显g(x)＞0恒成立，
当a＜0时，f′(x)＝a(2xln x＋x－1)＜0，
f(x)在(1,2]单调递减，
所以f(x)＜f(1)＝1恒成立．
此时函数在[－2,2]上的最大值为1；
当a＝0时，在(1,2]上f(x)＝1，
当a＞0时，在(1,2]上f′(x)＝a(2xln x＋x－1)＞0，
所以在(1,2]上，函数f(x)为单调递增函数．
所以f(x)在(1,2]上最大值为a(4ln 2－1)＋1，
由于a(4ln 2－1)＋1＞1，故函数f(x)在[－2,2]上的最大值为a(4 ln 2－1)＋1.
综上：当a≤0时，f(x)在[－2,2]上的最大值为1；
当a＞0时，f(x)在[－2,2]上的最大值为a(4 ln 2－1)＋1.
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