资源描述
第十三节 导数在争辩函数中的应用(一)
题号
1
2
3
4
5
答案
1.函数y＝x＋xln x的单调递减区间是( )
A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
答案：B
2．已知函数y＝f(x)的图象如下图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
解析：由函数f(x)的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，依据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴左侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的外形．故选A.
答案：A
3．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－1，0)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
解析：∵y′＝a(3x2－1)＝3a，
∴当－＜x＜时，＜0.
∴要使y′＜0，必需取a＞0.故选A.
答案：A
4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时，t的值为( )
A．1 B. C. D.
解析：由题意知，|MN|＝x2－ln x(x＞0)，不妨令h(x)＝x2－ln x(x>0)，则h′(x)＝2x－，令h′(x)＝0解得x＝，由于当x∈时，h′(x)＜0，当x∈时，h′(x)＞0，所以当x＝时，|MN|达到最小，即t＝.故选D.
答案：D
5．(2021·湖北卷)已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则( )
A．f(x1)＞0，f(x2)＞－
B．f(x1)＜0，f(x2)＜－
C．f(x1)＞0，f(x2)＜－
D．f(x1)＜0，f(x2)＞－
解析：由已知得f′(x)＝0有两个正实数根x1，x2(x1<x2)，从而f′(x)的图象与x轴有两个交点，即f′(x)的极大值大于0，得到x1，x2的取值范围，然后将x1，x2代入f(x)的解析式，比较f(x1)与f(x2)的大小．
f′(x)＝ln x＋1－2ax(x>0)，依题意ln x＋1－2ax＝0有两个正实数根x1，x2(x1<x2)．设g(x)＝ln x＋1－2ax，则g′(x)＝－2a，明显当a≤0时不合题意，必有a>0.令g′(x)＝0，得x＝，于是g(x)在上是增函数，在上是减函数，所以g(x)在x＝处取得极大值，所以f′＝ln >0，即>1，0<a<，且应有x1<<x2.
于是f(x1)＝x1 ln x1－ax＝x1(2ax1－1)－ax＝ax－x1＝x1(ax1－1)<0.又x∈时f′(x)>0，x∈(x2，＋∞)时f′(x)<0，所以x2是f(x)的极大值点，所以f(x2)>f(1)＝－a>－.
答案：D
6．已知x＝3是函数f(x)＝aln x＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．
解析：f′(x)＝＋2x－10，由f′(3)＝＋6－10＝0得a＝12，经检验满足题设条件．
答案：12
7．设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1，则f(x) 的单调减区间为________．
解析：f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，由a＞1知，当x＜2时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数；当2＜x＜2a时，f′(x)＜0，故f(x)在区间(2，2a)上是减函数；当x＞2a时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．
综上，当a＞1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2，2a)上是减函数．
答案：(2，2a)
8．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
解析：∵y′＝(n＋1)xn，
∴切线斜率为n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
∴xn＝1－＝.
∴a1＋a2＋…＋a99＝lg x1＋lg x2＋…＋lg x99＝lg(x1·x2…x99)＝lg＝lg ＝－2.
答案：－2
9．已知函数f1(x)＝e|x－a|，f2(x)＝ebx.
(1)若f(x)＝f1(x)＋f2(x)－bf2(－x)，是否存在a，b∈R，y＝f(x)为偶函数．假如存在．请举例并证明你的结论，假如不存在，请说明理由；
(2)若a＝2，b＝1.求函数g(x)＝f1(x)＋f2(x)在R上的单调区间．
解析：(1)存在a＝0，b＝－1使y＝f(x)为偶函数，
证明如下：此时f(x)＝e|x|＋e－x＋ex，x∈R
∴f(－x)＝e|－x|＋ex＋e－x＝f(x)，
∴y＝f(x)为偶函数(注：a＝0，b＝0也可以)．
(2)∵g(x)＝e|x－2|＋ex＝
①当x≥2时，g(x)＝ex－2＋ex，∴g′(x)＝ex－2＋ex＞0，
∴y＝g(x)在[2，＋∞)上为增函数．
②当x＜2时，g(x)＝e2－x＋ex，则g′(x)＝－e2－x＋ex，
令g′(x)＝0得到x＝1，
当x＜1时，g′(x)＜0，
∴y＝g(x)在(－∞，1)上为减函数；
当1≤x＜2时，g′(x)＞0，
∴y＝g(x)在(1，2)上为增函数．
综上所述：y＝g(x)的单调增区间为[1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．
10. 设f(x)＝aex＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解析：(1)设t＝ex(t≥1)，则y＝at＋＋b⇒y′＝a－＝.
①当a≥1时，y′>0⇒y＝at＋＋b在t≥1上是增函数，所以当t＝1(x＝0)时，f(x)的最小值为a＋＋b;
②当0<a<1时，y＝at＋＋b≥2＋b,
当且仅当at＝1时，f(x)的最小值为b＋2.
(2)f(x)＝aex＋＋b⇒f′(x)＝aex－.
由题意得⇔⇔
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
