资源描述
第3讲 函数的应用
考情解读 (1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式毁灭．
(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．
1．函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
(3)零点存在性定理
假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
留意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
2．函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要留意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.
热点一 函数的零点
例1 (1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是( )
A．(，1) B．(1，e－1)
C．(e－1,2) D．(2，e)
(2)(2022·辽宁)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式f(x－1)≤的解集为( )
A．[，]∪[，]
B．[－，－]∪[，]
C．[，]∪[，]
D．[－，－]∪[，]
思维升华 (1)依据二分法原理，逐个推断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决．
答案 (1)C (2)A
解析 (1)由于f()＝ln－4<0，f(1)＝ln 2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln 3－1>0，故零点在区间(e－1,2)内．
(2)先画出y轴右边的图象，如图所示．
∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴可画出y轴左边的图象，再画直线y＝.设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标．
令cos πx＝，∵x∈[0，]，
∴πx＝，∴x＝.
令2x－1＝，∴x＝，∴xA＝，xB＝.
依据对称性可知直线y＝与曲线另外两个交点的横坐标为xC＝－，xD＝－.
∵f(x－1)≤，则在直线y＝上及其下方的图象满足，
∴≤x－1≤或－≤x－1≤－，
∴≤x≤或≤x≤.
思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(1)已知函数f(x)＝()x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
答案 (1)C (2)C
解析 (1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.
(2)∵f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上是增函数，又a是函数f(x)＝2x－logx的零点，即f(a)＝0，∴当0<x0<a时，f(x0)<0.
热点二 函数的零点与参数的范围
例2 对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( )
A．(－2,1) B．[0,1]
C．[－2,0) D．[－2,1)
思维启迪 先确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求k的范围．
答案 D
解析 解不等式：x2－1－(4＋x)≥1，得：x≤－2或x≥3，所以，f(x)＝
函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同交点．
如图，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.
思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．
已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k的取值范围是( )
A．k≤2 B．－1<k<0
C．－2≤k<－1 D．k≤－2
答案 D
解析 由y＝|f(x)|＋k＝0，得|f(x)|＝－k≥0，所以k≤0，作出函数y＝|f(x)|的图象，
要使y＝－k与函数y＝|f(x)|有三个交点，
则有－k≥2，即k≤－2，选D.
热点三 函数的实际应用问题
例3 省环保争辩所对市中心每天环境放射性污染状况进行调查争辩后，发觉一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝|－a|＋2a＋，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．
(1)令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范围；
(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
思维启迪 (1)分x＝0和x≠0两种状况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．
(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t－a|＋2a＋，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)．
解 (1)当x＝0时，t＝0；
当0<x≤24时，x＋≥2(当x＝1时取等号)，
∴t＝＝∈(0，]，
即t的取值范围是[0，]．
(2)当a∈[0，]时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋，
则g(t)＝
∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，]上单调递增，
且g(0)＝3a＋，g()＝a＋，
g(0)－g()＝2(a－)．
故M(a)＝
即M(a)＝
当0≤a≤时，M(a)＝a＋<2明显成立；
由得<a≤，
∴当且仅当0≤a≤时，M(a)≤2.
故当0≤a≤时不超标，当<a≤时超标．
思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要急躁、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的学问求解，解答后再回到实际问题中去．
(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法．
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解 (1)由于每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：
当0<x<80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.
当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－(x＋)．
所以L(x)＝
(2)当0<x<80时，L(x)＝－(x－60)2＋950.
此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1 200－(x＋)≤1 200－2＝1 200－200＝1 000，
此时，当x＝即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．
由于950<1 000，
所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．
1．函数与方程
(1)函数f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点．
(2)函数f(x)的零点存在性定理
假如函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0.
①假如函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)<0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0.
②假如函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不愿定没有零点．
2．函数综合题的求解往往应用多种学问和技能．因此，必需全面把握有关的函数学问，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的学问和方法逐步化归为基本问题来解决．
3．应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是精确 的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关学问加以综合解答.
真题感悟
1．(2022·重庆)已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
答案 A
解析 作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，－2)．
由于直线y＝mx＋m＝m(x＋1)恒过定点C(－1,0)，故当直线y＝m(x＋1)在AC位置时，m＝，可知当直线y＝m(x＋1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0<m≤，g(x)有两个不同的零点．当直线y＝m(x＋1)过点B时，m＝－2；当直线y＝m(x＋1)与曲线f(x)相切时，联立得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，由Δ＝(2m＋3)2－4m(m＋2)＝0，解得m＝－，可知当y＝m(x＋1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与BC重合但不能与切线重合)，此时－<m≤－2，g(x)有两个不同的零点．综上，m的取值范围为(－，－2]∪(0，]，故选A.
2．(2022·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，如图记录了三次试验的数据．依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
答案 B
解析 依据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－(t2－t＋)＋－2＝－(t－)2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
押题精练
1．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)＋1]的零点有________个．
答案 4
解析 当f(x)＝0时，x＝－1或x＝1，故f[f(x)＋1]＝0时，f(x)＋1＝－1或1.当f(x)＋1＝－1，即f(x)＝－2时，解得x＝－3或x＝；当f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，解得x＝－1或x＝1.故函数y＝f[f(x)＋1]有四个不同的零点．
2．已知函数f(x)＝，若方程f(x)－kx＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[－，0)
C．[－，0] D．(－∞，－]
答案 B
解析 要使方程f(x)－kx＋k＝0有两个实数根，则函数y＝f(x)和y＝k(x－1)的图象有两个交点，而f(x)＝＝，画出图象，由于y＝k(x－1)过定点(1,0)，要使函数y＝f(x)和y＝k(x－1)的图象有两个交点，由下图可知kAB＝－≤k<0，选B.
3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
答案 5 8
解析 由题意知每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．
(推举时间：60分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为( )
A．(0，) B．(，1)
C．(1,2) D．(2,3)
答案 C
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
f()＝log2－＝－1－2＝－3<0，
f(1)＝log21－＝0－1<0，
f(2)＝log22－＝1－＝>0，
f(3)＝log23－>1－＝>0，
即f(1)·f(2)<0，
∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1,2)内．
2．函数f(x)＝＋ln，下列区间中，可能存在零点的是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(1,2)与(2,3)
答案 B
解析 f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，且为递减函数，
当1<x<2时，ln(x－1)<0，>0，所以f(x)>0，故函数在(1,2)上没有零点；
f(2)＝－ln 1＝1>0，f(3)＝－ln 2＝＝，
由于＝2≈2.828，所以>e，故ln e<ln ，
即1<ln 8，所以2<ln 8，即f(3)<0，f(4)＝－ln 3＝－ln 3<0.故f(x)在(2,3)存在零点．
3． f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 B
解析 ∵2sin πx－x＋1＝0，∴2sin πx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sin πx与y＝x－1有5个交点，
∴f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
4．设函数f(x)＝若方程f(x)＝m有三个不同的实根，则实数m的取值范围为( )
A．[－，1] B．[－，1]
C．(－，0) D．(－，0]
答案 C
解析 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．
当x>0时，f(x)＝x2－x＝(x－)2－≥－，所以要使函数f(x)＝m有三个不同的零点，则－<m<0，即m的取值范围为(－，0)．
5．(2021·江西)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于E、D两点．设弧的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
答案 D
解析 如图所示，连接OF，OG，过点O作OM⊥FG，过点A作AH⊥BC，交DE于点N.
由于弧的长度为x，所以∠FOG＝x，
则AN＝OM＝cos ，所以＝＝cos ，
则AE＝cos ，∴EB＝－cos .
∴y＝EB＋BC＋CD＝－cos ＋
＝－cos ＋2(0<x<π)．
6．已知定义在R上的函数f(x)满足：
f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的全部实根之和为( )
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
答案 C
解析 由题意知g(x)＝＝＝2＋，函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间[－5,1]上的图象如图所示：
由图形可知函数f(x)，g(x)在区间[－5,1]上的交点为A，B，C，
易知点B的横坐标为－3，若设C的横坐标为t(0<t<1)，则点A的横坐标为－4－t，所以方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的全部实根之和为－3＋(－4－t)＋t＝－7.
二、填空题
7．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.由于函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，由于0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是0<a≤1.
8．(2022·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
答案 (－∞，8]
解析 当x<1时，x－1<0，ex－1<e0＝1≤2，
∴当x<1时满足f(x)≤2.
当x≥1时，x≤2，x≤23＝8,1≤x≤8.
综上可知x∈(－∞，8]．
9．已知函数f(x)＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________．
答案 m>1
解析 函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根．
∵＝m|x|⇔＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足：0<<1，故m>1.
10．我们把形如y＝(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.
答案 4
解析 由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝＝
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．
三、解答题
11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，
令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
∴函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．
∴b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0<a<1.
因此实数a的取值范围是(0,1)．
12．随着机构改革工作的深化进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解 设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则
y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx＝－[x2－2(a－70)x]＋2ab.
依题意得2a－x≥·2a，所以0<x≤.
又140<2a<420，即70<a<210.
(1)当0<a－70≤，即70<a≤140时，x＝a－70，y取到最大值；
(2)当a－70>，即140<a<210时，x＝，y取到最大值．
故当70<a≤140时，公司应裁员(a－70)人，经济效益取到最大，
当140<a<210时，公司应裁员人，经济效益取到最大．
13．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．
(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)，试推断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；
(2)若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
解 f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)＋f(－x)＝0有解．
(1)当f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)时，
方程f(x)＋f(－x)＝0即2a(x2－4)＝0有解x＝±2，
所以f(x)为“局部奇函数”．
(2)当f(x)＝2x＋m时，f(x)＋f(－x)＝0可化为2x＋2－x＋2m＝0，
由于f(x)的定义域为[－1,1]，所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1,1]上有解．
令t＝2x∈[，2]，则－2m＝t＋.
设g(t)＝t＋，t∈[，2]．
依据：“对勾函数”的单调性知
g(t)＝t＋在[，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数，
所以函数g(t)＝t＋，t∈[，2]的值域为[2，]，
由2≤－2m≤，
得－≤m≤－1，
故实数m的取值范围是[－，－1]．
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