2021年高考数学(江苏专用-理科)二轮专题复习-专题一--第3讲.docx

第3讲　函数的应用
考情解读　(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式毁灭．
(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．

1．函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
(3)零点存在性定理
假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
留意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
2．函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要留意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.

热点一　函数的零点
例1　(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是(　　)
A．(，1) B．(1，e－1)
C．(e－1,2) D．(2，e)
(2)(2022·辽宁)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式f(x－1)≤的解集为(　　)
A．[，]∪[，]
B．[－，－]∪[，]
C．[，]∪[，]
D．[－，－]∪[，]
思维升华　(1)依据二分法原理，逐个推断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决．
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)由于f()＝ln－4<0，f1)＝ln 2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln 3－1>0，故零点在区间(e－1,2)内．
(2)先画出y轴右边的图象，如图所示．

∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴可画出y轴左边的图象，再画直线y＝.设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标．
令cos πx＝，∵x∈[0，]，
∴πx＝，∴x＝.
令2x－1＝，∴x＝，∴xA＝，xB＝.
依据对称性可知直线y＝与曲线另外两个交点的横坐标为xC＝－，xD＝－.
∵f(x－1)≤，则在直线y＝上及其下方的图象满足，
∴≤x－1≤或－≤x－1≤－，
∴≤x≤或≤x≤.
思维升华　函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
　(1)已知函数f(x)＝()x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若00
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.
(2)∵f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上是增函数，又a是函数f(x)＝2x－logx的零点，即f(a)＝0，∴当0]
C．[－2,0) D．[－2,1)
思维启迪　先确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求k的范围．
答案　D
解析　解不等式：x2－1－(4＋x)≥1，得：x≤－2或x≥3，所以，f(x)＝
函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同交点．
如图，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.

思维升华　已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．
　已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．k≤2 B．－1数，并记作M(a)．
(1)令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范围；
(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
思维启迪　(1)分x＝0和x≠0两种状况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．
(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t－a|＋2a＋，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)．
解　(1)当x＝0时，t＝0；
当00，a]上单调递减，在(a，]上单调递增，
且g(0)＝3a＋，g()＝a＋，
g(0)－g()＝2(a－)．
故M(a)＝
即M(a)＝
当0≤a≤时，M(a)＝a＋<2明显成立；
由得当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解　(1)由于每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：
当0＋1 450－250＝1 200－(x＋)．
所以L(x)＝
(2)当0f(x)的零点存在性定理
假如函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0.
①假如函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)<0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0.
②假如函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不愿定没有零点．
2．函数综合题的求解往往应用多种学问和技能．因此，必需全面把握有关的函数学问，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的学问和方法逐步化归为基本问题来解决．
3．应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是精确     的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关学问加以综合解答.

真题感悟
1．(2022·重庆)已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
答案　A
解析　作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，－2)．

由于直线y＝mx＋m＝m(x＋1)恒过定点C(－1,0)，故当直线y＝m(x＋1)在AC位置时，m＝，可知当直线y＝m(x＋1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0m(m＋2)＝0，解得m＝－，可知当y＝m(x＋1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与BC重合但不能与切线重合)，此时－4.25分钟
答案　B
解析　依据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－(t2－t＋)＋－2＝－(t－)2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
押题精练
1．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)＋1]的零点有________个．
答案　4
解析　当f(x)＝0时，x＝－1或x＝1，故f[f(x)＋1]＝0时，f(x)＋1＝－1或1.当f(x)＋1＝－1，即f(x)＝－2时，解得x＝－3或x＝；当f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，解得x＝－1或x＝1.故函数y＝f[f(x)＋1]有四个不同的零点．
2．已知函数f(x)＝，若方程f(x)－kx＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．[－，0)
C．[－，0] D．(－∞，－]
答案　B
解析　要使方程f(x)－kx＋k＝0有两个实数根，则函数y＝f(x)和y＝k(x－1)的图象有两个交点，而f(x)＝＝，画出图象，由于y＝k(x－1)过定点(1,0)，要使函数y＝f(x)和y＝k(x－1)的图象有两个交点，由下图可知kAB＝－≤k<0，选B.

3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
答案　5　8
解析　由题意知每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．

(推举时间：60分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1,2) D．(2,3)
答案　C
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
f()＝log2－＝－1－2＝－3<0，
f(1)＝log21－＝0－1<0，
f(2)＝log22－＝1－＝>0，
f(3)＝log23－>1－＝>0，
即f(1)·f(2)<0，
∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1,2)内．
2．函数f(x)＝＋ln，下列区间中，可能存在零点的是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(1,2)与(2,3)
答案　B
解析　f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，且为递减函数，
当10，所以f(x)>0，故函数在(1,2)上没有零点；
f(2)＝－ln 1＝1>0，f(3)＝－ln 2＝＝，
由于＝2≈2.828，所以>e，故ln e)＝m有三个不同的实根，则实数m的取值范围为(　　)
A．[－，1] B．[－，1]
C．(－，0) D．(－，0]
答案　C
解析　作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．

当x>0时，f(x)＝x2－x＝(x－)2－≥－，所以要使函数f(x)＝m有三个不同的零点，则－　　)

答案　D
解析　如图所示，连接OF，OG，过点O作OM⊥FG，过点A作AH⊥BC，交DE于点N.

由于弧的长度为x，所以∠FOG＝x，
则AN＝OM＝cos ，所以＝＝cos ，
则AE＝cos ，∴EB＝－cos .
∴y＝EB＋BC＋CD＝－cos ＋
＝－cos ＋2(0的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间[－5,1]上的图象如图所示：

由图形可知函数f(x)，g(x)在区间[－5,1]上的交点为A，B，C，
易知点B的横坐标为－3，若设C的横坐标为t(00时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.由于函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，由于0<2x≤20＝1，所以01
解析　函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根．
∵＝m|x|⇔＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足：0<<1，故m>1.
10．我们把形如y＝(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.

答案　4
解析　由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝＝
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．

三、解答题
11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，
令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
∴函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．
∴b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解　设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则
y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx＝－[x2－2(a－70)x]＋2ab.
依题意得2a－x≥·2a，所以0，即140公司应裁员(a－70)人，经济效益取到最大，
当140