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补偿练2 函数与导数(一)
(建议用时：40分钟)
1．给出下列四个函数：①f(x)＝x2＋x；②f(x)＝tan x；③f(x)＝x＋sin x；④f(x)＝lg.其定义域为R，且是奇函数的是________．(填序号)
解析 函数f(x)＝x2＋x不是奇函数；函数f(x)＝tan x的定义域不是R；函数f(x)＝lg 的定义域是(－1,1)，因此应填③.
答案 ③
2．式子2lg 2－lg 的值为________．
解析 2lg 2－lg ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.
答案 2
3．函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域是________．
解析 由得x＞1，故函数的定义域是(1，＋∞)．
答案 (1，＋∞)
4．下列函数f(x)中：①f(x)＝－x；②f(x)＝x3；③f(x)＝ln x；④f(x)＝2x.其中满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”的是________．
解析 “∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”等价于在(0，＋∞)上f(x)为减函数，易推断f(x)＝－x符合．
答案 ①
5．已知函数f(x)＝则f[f()]＝__________.
解析 f()＝log2＝－1，∴ f[f()]＝3－1＝.
答案
6．函数f(x)＝ln的值域是__________．
解析 由于|x|≥0，所以|x|＋1≥1，所以0＜≤1，所以ln≤0，即f(x)＝ln的值域为(－∞，0]．
答案 (－∞，0]
7．函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为________．
解析 由f′(x)＝ex(cos x－sin x)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为.
答案
8．设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是增函数”是“函数g(x)＝xa在R上是增函数”的________条件．
解析 函数f(x)＝ax在R上是增函数，即a＞1；但当a＝2时，函数g(x)＝x2在R上不是增函数．函数g(x)＝xa在R上是增函数时，可有a＝，此时函数f(x)＝ax在R上不是增函数．
答案 既不充分也不必要
9．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝________.
解析 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，
∵f(x)是R上的奇函数，
∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，
∴f(x)＝x3－ln(1－x)．
答案 x3－ln(1－x)
10．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________．
解析 由已知得0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，依据函数f(x)为偶函数，可以推断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)＞f(2)．
答案 f(a＋1)＞f(2)
11．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间(，3)上有零点，则实数a的取值范围是________．
解析 由于f(x)＝x2－ax＋1在区间(，3)上有零点，所以x2－ax＋1＝0在(，3)上有解．由x2－ax＋1＝0，得a＝x＋，设g(x)＝x＋，则g′(x)＝1－，令g′(x)＞0，得g(x)在(1，＋∞)，(－∞，－1)上单调递增，令g′(x)＝1－＜0，得g(x)在(－1,1)上单调递减，由于＜x＜3，所以g(x)在(，1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以当＜x＜3时，
2≤g(x)＜，所以a∈[2，)．
答案
12．设函数f(x)＝xex，给出下列说法：
①x＝1为f(x)的极大值点；②x＝1为f(x)的微小值点；③x＝－1为f(x)的极大值点；④x＝－1为f(x)的微小值点．其说法正确的是________．(填序号)
解析 f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，
当x＞－1时，f′(x)＞0，函数f(x)递增，
当x＜－1时，f′(x)＜0，函数f(x)递减，
所以当x＝－1时，f(x)有微小值．
答案 ④
13．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不等的实根，则实数k的取值范围是________．
解析 由函数f(x)＝的图象可知，要使关于x的方程f(x)＝k有三个不等的实根，则需直线y＝k与函数f(x)的图象有三个不同的交点，所以有0＜k＜1，所以关于x的方程f(x)＝k有三个不等的实根的实数k的取值范围是(0,1)．
答案 (0,1)
14．已知a＞0，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上单调递减，则4a＋b的最大值为________．
解析 ∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵函数f(x)在区间[－2,2]上单调递减，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b≤0在[－2,2]上恒成立．
∵a＞0，∴－＝－＜0，∴f′(x)max＝f′(2)≤0，即4a＋b≤－12，∴4a＋b的最大值为－12.
答案 －12
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