资源描述
题组层级快练(八十七)
1．(2022·湖北理)依据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b >0 D．a<0，b<0
答案 B
解析 依据题中表内数据画出散点图(图略)，由散点图可知b<0，a>0，选B.
2．下列有关样本相关系数的说法不正确的是( )
A．相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度
B．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大
C．|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越小
D．|r|≥1，且|r|越接近1，相关程度越小
答案 D
3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
115
106
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性？( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
答案 D
解析 r＞0且丁最接近1，残差平方和越小，相关性越高，故选D.
4．设某高校的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，依据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该高校某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该高校某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
答案 D
解析 D选项中，若该高校某女生身高为170 cm，则可断定其体重约为0.85×170－85.71＝58.79 kg.故D不正确．
5．下面是一个2×2列联表
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
合计
b
46
120
其中a，b处填的值分别为( )
A．94 72 B．52 50
C．52 74 D．74 52
答案 C
解析 由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74.故选C.
6．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )
A．若K2的观测值为6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99个患有肺病
B．由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病
C．若统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断毁灭错误
D．以上三种说法都不正确
答案 C
7．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程＝x＋必过(，)；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2的观测值k＝13.079，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
本题可以参考独立性检验临界值表
P(K2≥k)
0.5
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
答案 B
解析 只有②错误，应当是y平均削减5个单位．
8．为了推断高中三班级同学选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名同学，得到如下2×2列联表：
理科
文科
合计
男
13
10
23
女
7
20
27
合计
20
30
50
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
依据表中数据，得到K2的观测值
k＝≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．
答案 5%
解析 由K2的观测值k≈4.844>3.841，故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%.
9．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．依据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程 ＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
现发觉表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．
答案 68
解析 由已知可计算求出＝30，而线性回归方程必过点(，)，则＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a，则
＝75，计算得a＝68.
10．(2022·安徽文)某高校共有同学15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校同学每周平均体育运动时间的状况，接受分层抽样的方法，收集300位同学每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)依据这300个样本数据，得到同学每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，估量该校同学每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并推断是否有95%的把握认为“该校同学的每周平均体育运动时间与性别有关”.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
附：K2＝.
答案 (1)90 (2)0.75 (3)有95%的把握
思路 (1)依据抽样比计算分层抽样中应抽取的人数；(2)利用对立大事或互斥大事的概率公式求运动时间超过4小时的概率；(3)依据K2的计算公式求解．
解析 (1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校同学每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估量值为0.75.
(3)由(2)知，300位同学中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又由于样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.
所以，有95%的把握认为“该校同学的每周平均体育运动时间与性别有关”．
11．(2021·重庆文)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)推断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，猜想该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y＝bx＋a中，
b＝，a＝－b，其中，为样本平均值，
线性回归方程也可写为＝x＋.
答案 (1)＝0.3x－0.4 (2)x与y正相关 (3)约为1.7千元
解析 (1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，
iyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此得b＝＝＝0.3，
a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以猜想该家庭的月储蓄约为y＝0.3×7－0.4＝1.7千元．
12．(2021·河北邯郸一模)为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
大于40岁
16
小于等于40岁
12
合计
40
已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为.
(1)请将2×2列联表补充完整；
(2)已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
答案 (1)略 (2) (3)能判定
解析 (1)
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
大于40岁
16
4
20
小于等于40岁
8
12
20
合计
24
16
40
(2)ξ可以取0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)K2＝≈6.667>6.735，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关．
13．(2022·江南十校)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师接受A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改试验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的同学成果进行统计分析，画出频率分布直方图(如下图)．记成果不低于90分者为“成果优秀”．
(1)从乙班随机抽取2名同学的成果，记“成果优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(2)依据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并推断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成果优秀”与教学方式有关.
甲班(A方式)
乙班(B方式)
总计
成果优秀
成果不优秀
总计
附：K2＝.
P(K2≥k)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
答案 (1) (2)能判定
解析 (1)由频率分布直方图可得乙班“成果优秀”的人数为4，ξ的可能值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
(2)由频率分布直方图可得，甲班成果优秀、成果不优秀的人数分别为12,38，乙班成果优秀、成果不优秀的人数分别为4,46.
甲班(A方式)
乙班(B方式)
总计
成果优秀
12
4
16
成果不优秀
38
46
84
总计
50
50
100
依据列联表中数据，K2的观测值
k＝≈4.762.
由于4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成果优秀”与教学方式有关．
1．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有( )
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
答案 A
2．(2022·石家庄市二模)2021年国内物价持续上涨，某出名纺织集团为了降低生产成本连续走高的压力，方案提高某种产品的价格，为此销售部在10月1日至10月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x(元)与销售量y(万件)之间的数据如下表所示：
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
价格x(元)
9
9.5
10
10.5
11
销售量y(万件)
11
10
8
6
5
已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：＝－3.2x＋a，若该集团提高价格后该批发市场的日销售量为7.36万件，则该产品的价格为( )
A．14.2元 B．10.8元
C．14.8元 D．10.2元
答案 D
解析 依题意＝×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，＝×(11＋10＋8＋6＋5)＝8.由于线性回归直线必过样本中心点(，)，所以8＝－3.2×10＋a，解得a＝40.所以回归直线方程为＝－3.2x＋40.
令＝7.36，则7.36＝－3.2x＋40，解得x＝10.2.所以该产品的价格为10.2元．
3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试猜想加工10个零件需要多少小时？
(注：b＝，a＝－b )
答案 (1)略 (2)＝0.7x＋1.05 (3)8.05小时
解析 (1)散点图如图．
(2)由表中数据得xiyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，x＝54.
∴b＝0.7，∴a＝1.05.
∴＝0.7x＋1.05.
回归直线图略．
(3)将x＝10代入回归直线方程，得＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)．
∴猜想加工10个零件需要8.05小时．
4．试验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为( )
A.＝x＋1 B.＝x＋2
C.＝2x＋1 D.＝x－1
答案 A
解析 画出散点图，四点都在直线＝x＋1.
5．两个相关变量满足如下关系：
x
10
15
20
25
30
y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
则两变量的回归方程为( )
A.＝0.56x＋997.4 B.＝0.63x－231.2
C.＝0.56x＋501.4 D.＝60.4x＋400.7
答案 A
解析 回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A符合题意．
6．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2<r1<0 B．0<r2<r1
C．r2<0<r1 D．r2＝r1
答案 C
解析 对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0，所以有r2<0<r1.故选C.
7．(2022·沧州七校联考)某单位为了制定节能减排的方案，随机统计了某4天的用电量y(单位：度)与当天气温x(单位：℃)，并制作了对比表(如表所示)．由表中数据，得线性回归方程＝－2x＋a，当某天的气温为－5℃时，猜想当天的用电量约为________度.
x
18
13
10
－1
y
24
34
38
64
答案 70
解析 气温的平均值＝×(18＋13＋10－1)＝10，用电量的平均值＝×(24＋34＋38＋64)＝40，由于回归直线必经过点(，)，将其代入线性回归方程得40＝－2×10＋a，解得a＝60，故回归方程为＝－2x＋60.
当x＝－5时，＝－2×(－5)＋60＝70.所以当某天的气温为－5℃时，猜想当天的用电量约为70度．
8．在一次考试中，5名同学的数学、物理成果如下表所示：
同学
A1
A2
A3
A4
A5
数学(x分)
89
91
93
95
97
物理(y分)
87
89
89
92
93
(1)依据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程；
(2)要从4名数学成果在90分以上的同学中选出2名参与一项活动，以X表示选中的同学中物理成果高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．
附：回归方程＝x＋中，＝，＝－ ，其中，为样本平均数．
解析 (1)∵＝＝93，
＝＝90，
∴(xi－)2＝(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40，
(xi－)(yi－)＝(－4)×(－3)＋(－2)×(－1)＋0×(－1)＋2×2＋4×3＝30.
∴＝＝0.75，＝－ ＝20.25.
故物理分y对数学分x的回归方程为＝0.75x＋20.25.
(2)随机变量X的全部可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
9．(2021·福建文)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为争辩工人的日平均生产量是否与年龄有关，现接受分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你依据已知条件完成2×2列联表，并推断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附：K2＝.
答案 (1) (2)没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”
解析 (1)由已知，得样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3人，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2人，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，全部的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图，可知在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15人，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15人，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得K2＝＝
＝≈1.79.
由于1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
10．甲、乙两所学校高三班级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三班级同学在该地区六校联考的数学成果状况，接受分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名同学的数学成果，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：
分组
[70,80)
[80,90)
[90,100)
[100,110)
频数
3
4
8
15
分组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频数
15
x
3
2
乙校：
分组
[70,80)
[80,90)
[90,100)
[100,110)
频数
1
2
8
9
分组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频数
10
10
y
3
(1)计算x，y的值；
(2)若规定考试成果在[120,150]内为优秀，请分别估量两所学校数学成果的优秀率；
(3)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并推断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成果有差异.
甲校
乙校
总计
优秀
非优秀
总计
参考数据与公式：
由列联表中数据计算K2＝.
临界值表
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
答案 (1)x＝10，y＝7 (2)甲、乙两校优秀率分别为25%,40% (3)在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成果有差异
解析 (1)从甲校抽取110×＝60(人)，
从乙校抽取110×＝50(人)，
故x＝10，y＝7.
(2)估量甲校数学成果的优秀率为×100%＝25%，
乙校数学成果的优秀率为×100%＝40%.
(3)表格填写如图，
甲校
乙校
总计
优秀
15
20
35
非优秀
45
30
75
总计
60
50
110
K2的观测值k＝≈2.829>2.706，
故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成果有差异．
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