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其次章 §3
一、选择题
1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝x0 D．y＝x2
[答案] D
[解析] ∵函数y＝x2的图像是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．
2．若函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是削减的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则m＝( )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
[答案] C
[解析] 函数y＝5x2＋mx＋4的图像为开口向上对称轴是x＝－的抛物线，要使函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是削减的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则－＝－1，∴m＝10.
3．函数y＝(k＋2)x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则k的范围是( )
A．{k|k≥－2} B．{k|k≤－2}
C．{k|k<－2} D．{k|k>－2}
[答案] D
[解析] 由题意结合一次函数的图像可知k＋2>0，即k>－2.
4．关于函数y＝－的单调性的叙述正确的是( )
A．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的
B．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是递增的
C．在[0，＋∞)上是递增的
D．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的
[答案] D
[解析] 结合函数y＝－的图像可知，其在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的．
5．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是( )
A．2 B．3
C．－1 D．1
[答案] D
[解析] 简洁推断f(x)在区间[1,3]上是增加的，所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)＝1.
6．函数f(x)＝2x2－3|x|的递减区间是( )
A．[，＋∞)
B．(－∞，－]
C．[－，0]和[，＋∞)
D．(－∞，－]和[0，]
[答案] D
[解析] 作出f(x)＝2x2－3|x|＝的图像，由图像易知选D.
二、填空题
7．如图所示，已知函数y＝f(x)的图像，则函数的单调减区间为________．
[答案] (－∞，－)，(0，＋∞)
[解析] 依据单调减函数的概念与其图像外形可知：函数的单调减区间为(－∞，－)，(0，＋∞)．
8．f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是______________．
[答案]
[解析] 依题意，由不等式组
解得<x≤4.
三、解答题
9．利用函数的单调性定义证明函数f(x)＝在x∈[2,4]是单调递减函数，并求函数的值域．
[证明] 在[2,4]上任取x1，x2且x1<x2，则
∴f(x1)－f(x2)＝－＝
∵2≤x1<x2≤4，∴x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)是在[2,4]上的减函数．
∴f(x)min＝f(4)＝，f(x)max＝f(2)＝2，
因此，函数的值域为[，2]．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求证：函数f(x)在定义域上是增加的；
(3)求函数f(x)的最小值．
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，
所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．
(2)证明：设－1≤x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝＝.
∵－1≤x1<x2，
∴x1－x2<0，≥0，>0.
∴f(x1)<f(x2)，即Δy＝f(x2)－f(x1)>0，
∴函数f(x)在定义域上是增加的．
(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是增加的，
∴f(x)≥f(－1)＝0，
即函数f(x)的最小值是0.
一、选择题
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)
C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a)
[答案] D
[解析] ∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，
∴a2＋1>a，
又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴f(a2＋1)<f(a)．
2．已知y＝f(x)是R上的增函数，令F(x)＝f(1－x)－f(3＋x)，则F(x)在R上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增加后削减
D．先削减后增加
[答案] B
[解析] 设任意的x1，x2∈R，且x1<x2，
则F(x2)－F(x1)
＝f(1－x2)－f(3＋x2)－f(1－x1)＋f(3＋x1)
＝f(1－x2)－f(1－x1)＋f(3＋x1)－f(3＋x2)
由于x1<x2，所以1－x1>1－x2,3＋x2>3＋x1，
所以F(x2)－F(x1)<0，即F(x)在R上是减函数．
二、填空题
3．设函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
[答案] f(－3)>f(－π)
[解析] 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．
4．若f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2在(－∞，4]上是削减的，则实数a的取值范围为________．
[答案] a≥3
[解析] ∵函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2的对称轴为x＝1＋a，∴要使函数在(－∞，4]上是削减的，应满足1＋a≥4，∴a≥3.
三、解答题
5．利用单调性的定义证明函数y＝在(－1，＋∞)上是削减的．
[解析] 设x1>x2>－1，则Δx＝x2－x1<0，
Δy＝y1－y2＝－＝
∵x1>x2>－1，x1＋1>0，x2＋1>0，
Δx＝x2－x1<0.
∴<0.
Δy＝y1－y2<0.
∴y＝在(－1，＋∞)上是削减的．
6．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
[解析] (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴，解得m≥4.
∴不等式的解集为{m|m≥4}．
7．已知f(x)的定义域为R，且有f(－x)＝f(x)，而且在(0，＋∞)上是削减的，推断在(－∞，0)上是增加的还是削减的，并加以证明．
[解析] f(x)在(－∞，0)上为增加的．
证明：设x1∈(－∞，0)，x2∈(－∞，0)，
且x1<x2，则－x1∈(0，＋∞)，－x2∈(0，＋∞)，
且－x1>－x2.
又f(x)在(0，＋∞)上为削减的，
∴f(－x1)<f(－x2)．
又∵f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，
∴f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在(－∞，0)上为增加的．
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