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第三章 3.1 3.1.1
基础巩固
一、选择题
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
[答案] A
[解析] 没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A.
2．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] C
[解析] 令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)，故选C.
3．函数f(x)＝lnx－的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 如答图所示，易知y＝lnx与y＝的图象有两个交点．
4．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
[答案] D
5．下列函数中，在[1,2]上有零点的是( )
A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
[答案] D
[解析] A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，
∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．
B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.
在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．
∴f(x)＝0在[1,2]上无零点．
C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．
D：∵f(1)＝e＋3×1－6＝e－3<0，f(2)＝e2>0，
∴f(1)·f(2)<0.
∴f(x)在[1,2]内有零点．
6．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和－
[答案] B
[解析] 由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，
∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.
二、填空题
7．函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的全部零点之和为________．
[答案] 0
[解析] ∵y＝f(x)为偶数，∴f(－x)＝f(x)，∴四个根之和为0.
8．函数f(x)＝的零点的个数为________．
[答案] 2
[解析] 当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝有2个零点．
三、解答题
9．推断下列函数是否存在零点，假如存在，恳求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝3x＋1－7；
(5)f(x)＝log5(2x－3)．
[解析] (1)由于f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－或x＝1，所以函数的零点为－和1.
(2)令x2＋x＋2＝0，由于Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
(3)由于f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.
(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log3，所以函数的零点为log3.
(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2.
10．(2021·北京高一检测)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
[解析] 设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种状况．第一种状况，解得－2＜m＜－.
其次种状况，此不等式组无解．
综上，m的取值范围是－2＜m＜－.
力气提升
一、选择题
1．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在区间(0,1)上确定有零点，在区间(1,2)上确定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上确定没有零点，在区间(1,2)上确定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上确定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上确定有零点
[答案] C
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6
那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[答案] B
3．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点在1003个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1003 B．1004
C．2006 D．2007
[答案] D
4．(2021·宁夏银川一中第一次月考)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(b，c)和(c，＋∞)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(a，b)和(b，c)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[答案] C
[解析] 由于a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－a)(b－c)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，依据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选C.
二、填空题
5．(2021·全国高考安徽卷文科，14题)在平面直角坐标系中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
[答案] －
[解析] 由题知y＝|x－a|－1最小值为－1，所以2a＝－1，∴a＝－.
6．(2021·河北衡水中学期末)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设函数f(x)＝(x2－2)*(x－1)，x∈R，若方程f(x)＝c恰有两个不同的解，则实数c的取值范围是________．
[答案] (－2，－1]∪(1,2]
[解析] 由题意知f(x)＝画出f(x)的图象，数形结合可得实数c的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0＜a＜1)．
(1)求函数f(x)的定义域为；
(2)求函数f(x)的零点．
[解析] (1)要使函数有意义，则有解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)，
由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，即x2＋2x－2＝0，
x＝－1±.
∵－1±∈(－3,1)，∴f(x)的零点是－1±.
8．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？
[解析] (1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，
其图象如图所示．
(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点，
∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，
即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．
由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.
∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
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