资源描述
学科：数学
专题：点线面综合问题
主讲老师：纪荣强 北京四中数学老师
题1
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．
(1)求证：MN∥平面A1CD；
(2)过N，C，D三点的平面把长方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值．
题2
已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条相互垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出全部正确结论的编号)．
题3
设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )．
A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
D．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α
题4
正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，
求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值；(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比．
题5
若四周体各棱长是1或2，且该四周体不是正四周体，则其体积的值是 ．(只须写出一个可能的值)
题6
一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图(1)和(2)所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．
(1)请在图(2)指定的位置画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC、BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
（1） （2）
题7
如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ．
题8
如图，在四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE＝BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
(1)求证：AE⊥BC；
(2)假如点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．
题9
如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH 截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )．
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台
课后练习详解
题1
答案：见详解．
详解: (1)设点P为AD的中点，连结MP、NP，
∵点M是BC的中点，∴MP∥CD．∵CD⊂平面A1CD，MP⊄平面A1CD，
∴MP∥平面A1CD．∵点N是AA1的中点，∴NP∥A1D．
∵A1D⊂平面A1CD，NP⊄平面A1CD，∴NP∥平面A1CD．
∵MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，
∴平面MNP∥平面A1CD．∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面A1CD．
(2)取BB1的中点Q，连结NQ、CQ、ND，
∵点N是AA1的中点，∴NQ∥AB．
∵AB∥CD，∴NQ∥CD，∴过N、C、D三点的平面NQCD把长方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直棱柱QBC－NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1－A1NDD1，
∴S△QBC＝·QB·BC＝×1×1＝，∴直三棱柱QBC－NAD的体积V1＝S△QBC·AB＝．
∵长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝1×1×2＝2，
∴直四棱柱B1QCC1－A1NDD1的体积V2＝V－V1＝，
∴＝＝，∴所截成的两部分几何体的体积的比值为．
题2
答案：①②④．
详解:①、②、④对应的状况如下：
用反证法证明③不行能．
题3
答案：D．
详解:
对于选项A，要留意直线a，b的方向相同时才平行；对于选项B，可用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，明显有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b；对于选项C，可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，故C不正确；对于选项D，可验证是正确的．
题4
答案：（1）a；（2）a2；（3）．
详解: (1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图．
如图，当周长最小时，EF在直线BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理B′F＝B′D＝a．∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴＝，＝＝,∴DF＝a,AF＝a．又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周长的最小值为a．
(2)如图，∵ΔBEF等腰，取EF中点G，连BG，则BG⊥EF．∴BG＝＝＝a ∴SΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a2．
(3)∵VA-BCD＝VB-ACD，而三棱锥B—AEF，三棱锥B—ACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即＝＝＝
题5
答案：或．
详解：该题的显著特点是结论发散而不惟一．本题表面上是考查锥体求体积公式这个学问点，实际上主要考查由所给条件构造一个四周体的力量，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的．
排解｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四周体，再求其体积．
由平常所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四周体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四周体．
对于五条边为2，另一边为1的四周体，参看下图所示，
设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=SΔBCM·AD．
CM===．设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN===，从而SΔBCM=×2×=，
故VABCD=××1=．
对于对棱相等的四周体，可参见图2．其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行．亦可套公式V=·，
不妨令a=b=2，c=1，则V=·=·=．
题6
答案：(3)5a2．
详解: (1)
(2)如图，连结AC、BD，交于O点．
∵E为AA1的中点，O为AC的中点．
∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线，∴OE∥A1C．
∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，∴OE∥平面A1C1C．
(3)多面体表面共包括10个面，SABCD＝a2，S＝，
＝＝＝＝，＝＝＝
＝××＝，所以该多面体的表面积S＝a2＋＋4×＋4×＝5a2．
题7
答案：见详解．
详解：连接CD1、AD1，
∵P、Q分别是CC1、C1D1的中点，
∴PQ∥CD1，又CD1⊄平面BPQ，PQ⊂平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ．
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥DC∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，
又∵AD1⊄平面BPQ，BQ⊂平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ．
又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ．
∵AC⊂平面ACD1，∴AC∥平面BPQ．
题8
证明：(1)由于BM⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以BM⊥AE．
由于AE⊥BE，且BE∩BM＝B，
BE、BM⊂平面EBC，所以AE⊥平面EBC．
由于BC⊂平面EBC，所以AE⊥BC．
(2)法1：取DE中点H，连接MH、AH．
由于BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，所以BM⊥EC．
由于BE＝BC，所以M为CE的中点．
所以MH为△EDC的中位线，所以MH平行且等于 DC．
由于四边形ABCD为平行四边形，所以DC平行且等于AB．
故MH平行且等于 AB．由于N为AB的中点，所以MH平行且等于AN．
所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH．
由于MN⊄平面ADE，AH⊂平面ADE，
所以MN∥平面ADE．
法2：取EB的中点F，连接MF、NF．
由于BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，
所以BM⊥EC．
由于BE＝BC，所以M为CE的中点，所以MF∥BC．
由于N为AB的中点，所以NF∥AE，
由于四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC．
所以MF∥AD．
由于NF、MF⊄平面ADE，AD、AE⊂平面ADE，
所以NF∥平面ADE，MF∥平面ADE．
由于MF∩NF＝F，MF、NF⊂平面MNF，
所以平面MNF∥平面ADE．
由于MN⊂平面MNF，
所以MN∥平面ADE．
题9
答案：D．
详解:∵EH∥A1D1，∴EH∥BC，∴EH∥平面BCC1B1．
又过EH的平面EFGH与平面BCC1B1交于FG，∴EH∥FG．故A成立．
B中，易得四边形EFGH为平行四边形，∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥EF，
即FG⊥EF，∴四边形EFGH为矩形．故B正确．
C中可将Ω看做以A1EFBA和D1DCGH为上下底面，以AD为高的棱柱．故C正确．
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