资源描述
学科：数学
专题：直线和圆的综合问题
题1
已知直线l：y=x+m与半圆C：x2+y2=4（y≥0）有两个公共点，则实数m的取值范围是____________．
题2
已知直线l：y＝x＋m，m∈R．若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
题3
过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．
题4
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上恰有两个点到直线4x-3y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 ．
题5
已知点P是半径为5的⊙O内的一个定点，且OP=3，则过点P的全部弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）．
A． 2条 B．3条 C．4条 D．5条
题6
圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )．
A．(－∞，4) B．(－∞，0) C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
题7
从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ．
题8
已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4和直线l：kx-y-4k+3=0．
（1）求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；
（2）求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．
题9
若直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），则（ ）．
A． B． C． D．
题10
若直线与曲线，有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为 ．
题11
如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．依据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个．
课后练习详解
题1
答案：．
详解：当直线y=x+m与圆相切时，由题意可得，
∴或(舍去），
当直线y=x+m过A（-2，0）时，m=2，此时y=x+2过（0，2）点
结合图形可得，直线l：y=x+m与半圆C：x2+y2=4（y≥0）有两个公共点时，．
题2
答案：(x－2)2＋y2＝8．
详解：依题意，点P的坐标为(0，m)．由于MP⊥l，所以×1＝－1，
解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径r＝|MP|＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．
题3
答案：2x－y＝0．
详解：设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0．
由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，
因此圆心到直线的距离等于＝0，
即圆心位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0．
题4
答案：（-15，-5）∪（5，15）．
详解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0）
故圆心（0，0）到直线4x-3y+c=0的距离为，
如图中的直线m恰好与圆有3个公共点，此时d=OA=2-1，
直线n与圆恰好有1个公共点，此时d=OB=2+1=3，
当直线介于m、n之间满足题意．
故要使圆x2+y2=4上恰有两个点到直线4x-3y+c=0的距离为1，
只需d大于1小于3，即，
解得：-15＜c＜-5，或5＜c＜15
故c的取值范围是：（-15，-5）∪（5，15）．
题5
答案：C．
详解：如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
Rt△OAP中，OP=3，OA=5；依据勾股定理，得AP=4；∴AB=2AP=8；
故过点P的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10；
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，依据圆的对称性知，符合条件的弦应当有两条；
故弦长为整数的弦共有4条．故选C．
题6
答案：A．
详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a＞0，即a＜2．
由圆心在直线上，可得b＝－2，∴a－b＜4，所以选A．
题7
答案：60°．
详解：设原点为O，圆心为P（0，6），半径是PA=3，切点为A、B，则OP=6，
在Rt△AOP中，∠AOP=30°，所以则这两条切线的夹角的大小为60°．
题8
答案：（1）省略；（2）k=1，．
详解：（1）证明：由直线l的方程可得y-3=k（x-4），则直线l恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4，
所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l与圆C总相交．
（2）设圆心到直线l的距离为d，则，
又设弦长为L，则，
即，
∴当k=1时，，∴，
所以圆被直线截得最短的弦长为．
题9
答案：B．
详解：直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），∴acosα+bsinα=2，
∴a2+b2=(a2+b2)(cos2α+sin2α)≥(acosα+bsinα)2=4，（当且仅当时等号成立）故选B．
题10
答案：．
详解：由于曲线，所以（x-2）2+y2=1（x≥2），
表示圆心为（2，0），半径为1的右半圆．圆心（2，0），
到直线x-y-b=0的距离为
解得或（舍去），
当直线y=x-b过点B（2，-1）时，直线与圆有两个交点，此时b=3．
所以要使直线y=x-b与曲线有两个不同的公共点，
所以，即实数b的取值范围为．
故答案为：．
题11
答案：4．
详解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；
到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．
故答案为：4．
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