2020-2021学年人教A版数学必修二课后练习：直线的综合问题-一.docx

学科：数学
专题：直线的综合问题
题1
过两点M (a2＋2，a2－3)，B(3－a－a2，2a)的直线l的倾斜角为45°，则(　　)
A．a＝－1或a＝－2 B．a＝－1
C．a＝－2 D．a＝0

题2
已知在第一象限的中，、，，，求：
(1)边所在的直线方程；(2)和所在直线的方程．

题3
过点(2,3)的直线l被两平行直线l1：2x－5y＋9＝0与l2：2x－5y－7＝0所截线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上，则直线l的方程为(　　)
A．5x－4y＋7＝0 B．5x－4y－7＝0
C．4x－5y＋7＝0 D．4x－5y－7＝0
题4
若点A (－1,3)在直线l上的射影为N (1，－1)，则直线l的方程为________．

题5
一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线
所在的直线方程为(　　)
A．2x＋y－6＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0
题6
已知(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)
A．a<1或a>24 B．a＝7或a＝24
C．－7<a<24 D．－24<a<7

题7
已知直线l的斜率k＝m2－1(m∈R)，求其倾斜角α的范围．

题8
点P (m－n，－m)到直线 ＋＝1的距离为(　　)
A. B.
C. D.
题9
已知点P (2，－1)，求：
（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；
若不存在，请说明理由.

题10
已知直线l过点P (－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．
题11
直线l：y－1＝k (x＋2)过定点________；
若l的倾斜角为135°，则直线l在y轴上的截距为________．

题12
已知a，b，c为某始终角三角形的三边长，c为斜边，若点(m，n)在直线
ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为_______．

课后练习详解
题1
答案：C
详解:由题意得：直线l的斜率k＝tan45°＝1，
故由斜率公式
k＝＝＝1，
解得a＝－1或a＝－2.经检验a＝－1不适合，舍去，故a＝－2.
题2
答案：(1)
(2)直线：；
直线：.

详解: (1)当直线与轴平行或垂直时，不能用两点式求直线的方程．(2)由图可知、的斜率，依据点斜式方程即可得出结果．
(1)如图，的方程为．

(2)由∥轴，且在第一象限知：
的斜率，的斜率．
所以，边所在直线的方程为，即．
边所在直线的方程为，即．
题3
答案：C
详解:设线段AB的中点P的坐标为(a，b)，由P到l1，l2的距离相等，得＝，
整理得：2a－5b＋1＝0.
又由于点P在直线x－4y－1＝0上，所以a－4b－1＝0，
解方程组得即点P的坐标(-3，-1)．又由于直线l过点
(2，3)，所以直线l的方程为＝，即4x－5y＋7＝0.
题4
答案：x－2y－3＝0.
详解:由题意可知直线AN⊥l，且l过N(1，-1)，
∵kAN＝＝－2，∴l的斜率为，
由点斜式方程可知l的方程为y＋1＝(x－1)，
即x－2y－3＝0.
题5
答案：B
详解:取直线2x－y＋2＝0上一点A (0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y－5＝0
对称的点为B(a，b)，
则解得∴B(3,5)．
联立方程，得解得
∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P (1,4)．
∴反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，其直线方程为y－4＝(x－1)，
整理得x－2y＋7＝0.
题6
答案：C.
详解:将点代入直线中，只要异号即可．
题7
答案：0°≤α<90°或135°≤α<180°.
详解:由k＝m2－1可知k≥－1，
①当－1≤k<0时，即－1≤tanα<0，且0°≤α<180°，∴135°≤α<180°.
②当k≥0时，即tanα≥0，
又∵0°≤α<180°，∴0°≤α<90°.
综上所述，直线l倾斜角的范围是
0°≤α<90°或135°≤α<180°.
题8
答案：D
详解:将直线化为一般式，得nx＋my－mn＝0，由点到直线的距离公式得
d＝＝.
题9
答案：（1）x=2或3x－4y－10=0；
（2）2x－y－5=0；
（3）不存在.
详解:（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，
可见，过P (2，－1)垂直于x轴的直线满足条件.
此时l的斜率不存在，其方程为x=2.
若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0.
由已知，得=2，解之得k=.
此时l的方程为3x－4y－10=0.
综上，可得直线l的方程为x=2或3x－4y－10=0.
（2）可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，
由l⊥OP，得kl·kOP =－1，所以kl =－=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2（x－2），即2x－y－5=0，
即直线2x－y－5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=.
（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.
题10
答案：x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
详解:据题意，直线l与两坐标轴不垂直，否则不能构成三角形，
设其斜率为k (k≠0)，则l的方程为y－3＝k(x＋2)，
令x＝0得y＝2k＋3，令y＝0得x＝－－2，
于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为
|(2k＋3)(－－2)|＝4，即(2k＋3)(＋2)＝±8.
若(2k＋3)(＋2)＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解，
若(2k＋3)(＋2)＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0，
解之得k＝－或k＝－，
∴l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)，
即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
题11
答案：(－2,1)　－1.
详解:∵直线l：y－1＝k (x＋2)，当x＝－2时，y＝1，
∴直线过定点(－2,1)．
若直线l的倾斜角为135°，∴k＝－1.
∴y－1＝－(x＋2)．
∴当x＝0时，y＝－1.
题12
答案：4.
详解: 点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，且m2＋n2为直线上的点到原点的距离的平方．
当两直线垂直时，距离最小，故d＝＝＝＝2，
∴m2＋n2≥4.