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第六章 不等式
第1讲 不等式的性质与一元二次不等式
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·大庆质量检测)若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是
( )
A.＞ B.＞
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
解析 取a＝－2，b＝－1，则＞不成立，选A.
答案 A
2．(2021·天津卷)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的
( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 (a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要条件．
答案 A
3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是
( )
A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4}
C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}
解析 由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，由得0＜a≤4，所以0≤a≤4.
答案 D
4．(2021·温岭中学模拟)若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为
( )
解析 由题意知a＜0，由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2，f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，图象开口向下，与x轴交点为(－1,0)，(2,0)，故选B.
答案 B
5．(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则
( )
A．c≤3 B．3＜c≤6
C．6＜c≤9 D．c＞9
解析 由0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，得0＜－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c≤3，
由－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，得3a－b－7＝0 ①，
由－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，得4a－b－13＝0 ②，由①②，解得a＝6，b＝11，∴0＜c－6≤3，即6＜c≤9，故选C.
答案 C
二、填空题
6．函数y＝的定义域是________．
解析 由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，
∴x≤－4或x≥3.
答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)
7．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解为－＜x＜，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集是________．
解析 由题意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a＜0，
所以.
解得
则不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2－2x－12＜0，其解集为{x|－2＜x＜3}．
答案 {x|－2＜x＜3}
8．(2021·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围是________．
解析 不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0恒成立，所以Δ≤0，即Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，整理得2sin2 α－cos 2α≤0，即4sin2 α≤1，所以sin2 α≤，即－≤sin α≤，由于0≤α≤π，所以0≤α≤或≤α≤π，即α的取值范围是∪.
答案 ∪
三、解答题
9．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
解 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
得x1＝－，x2＝.
①a＞0时，－＜，解集为；
②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③a＜0时，－＞，
解集为.
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为
；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
10．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解 法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，
只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，
解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围是[－3,1]．
法二 令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1，所以a的取值范围是[－3,1]．
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2021·大连模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，假如不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是
( )
A.∪
B.
C.∪
D.
解析 由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1,3)，∴a＜0.且
解得a＝－1或(舍去)，
∴a＝－1，b＝－3.
∴f(x)＝－x2＋2x＋3，
∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3＜0，
得4x2＋4x－3＞0，解得x＞，
或x＜－，故选A.
答案 A
12．(2021·淄博模拟)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围是
( )
A.
B.
C.∪
D.
解析 ∵x∈(0,2]，
∴a2－a≥＝
要使a2－a≥在x∈(0,2]时恒成立，
则a2－a≥max，
由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，
即max＝，
故a2－a≥，解得a≤或a≥.
答案 C
13．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________．
解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
则由f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程解得x<1或x>3.
答案 {x|x<1或x>3}
14．(1)设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y)的大小；
(2)已知a，b，x，y∈(0，＋∞)且>，x>y，求证：>.
(1)解 法一 (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，
∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0，
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
法二 ∵x<y<0，∴x－y<0，x2>y2，x＋y<0.
∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0，
∴0<＝<1，
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
(2)证明 －＝.
∵>且a，b∈(0，＋∞)，∴b>a>0，
又∵x>y>0，∴bx>ay>0，
∴>0，∴>.
15．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
解 (1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，
f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由方程f(x)＋6a＝0，
得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②
由于方程②有两个相等的根，
所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.
由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①，
得f(x)＝－x2－x－.
(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a2－及a<0，可得f(x)的最大值为－.
由
解得a<－2－或－2＋<a<0.
故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是
(－∞，－2－)∪(－2＋，0).
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