2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-9-5-Word版含解析.docx

直线与椭圆解答题的规范解答
[典例]　(2022·重庆)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．

(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
[审题视角]　(1)由直角△AB1B2的面积求出b、c的关系，进一步确定椭圆的离心率和标准方程．(2)设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程进行消元，结合韦达定理设而不求，由PB2⊥QB2可以求出直线方程．
[解析]　(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．

因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故
S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.
由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.
∴方程为＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)，由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.
代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此
y1＋y2＝，y1·y2＝－
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2y)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－4m(y1－y2)＋16
＝－－＋16＝－.
由PB2⊥QB2，得·＝0，得16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0得x－2y＋2＝0.

第1步：由△AB1B2是面积为4的直角三角形，可得b、c两个量的等式关系．
第2步：结合a2－b2＝c2，求出椭圆的离心率和标准方程．

1．(2021·天津理，8)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
解：(1)解：设F(－c,0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)解：设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，

由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
由于A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.