2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-9-5-Word版含解析.docx

直线与椭圆解答题的规范解答典例(2022重庆)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程审题视角(1)由直角AB1B2的面积求出b、c的关系，进一步确定椭圆的离心率和标准方程(2)设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程进行消元，结合韦达定理设而不求，由PB2QB2可以求出直线方程解析(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，故B1AB2为直角，因此|OA|OB2|，得b，结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24，从而a25b220.方程为1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)，由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22y)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616.由PB2QB2，得0，得16m2640，解得m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20得x2y20.第1步：由AB1B2是面积为4的直角三角形，可得b、c两个量的等式关系第2步：结合a2b2c2，求出椭圆的离心率和标准方程1(2021天津理，8)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值解：(1)解：设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆方程为1.(2)解：设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数关系可得x1x2，x1x2.由于A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.