2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练7.docx

双基限时练(七)
1．“a∥α，则a平行于平面α内的任始终线”是(　　)
A．全称命题　　　　　　 B．特称命题
C．不是命题 D．真命题
解析　由全称命题的定义知，命题是全称命题，应选A.
答案　A
2．下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　　)
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．存在一个x0，使不等式x－3x0＋6＜0成立
解析　易知选项B适合，故选B.
答案　B
3．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是(　　)
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy
C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy
D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≥2xy
解析　明显选项A正确．
答案　A
4．在下列特称命题中假命题的个数是(　　)
①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　易知①②③都是真命题，故选A.
答案　A
5．在下列全称命题中假命题的个数是(　　)
①2x＋1是整数(x∈R)；②对全部的x∈R，x>3；③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　易知，命题①与②是假命题，故选C.
答案　C
6．下列四个命题：
①∀n∈R，n2≥n；②∀n∈R，n2<n；③∀n∈R，∃m∈R，m2<n；④∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m.
其中真命题的序号是________．
答案　④
7．设A，B为两个集合，下列命题：
①AB⇔对任意x∈A，有x∉B；②AB⇔A∩B＝∅；③AB⇔A⊉B；④AB⇔存在x∈A，使得x∉B.
其中真命题的序号是________．
答案　④
8．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并推断真假．
(1)在△ABC中，有＝＝；
(2)至少有一个实数x，使x2＋1＝0；
(3)有的四周体是正四周体；
(4)长方体的体对角线交于一点．
解　(1)(4)是全称命题，(2)(3)是特称命题．
(1)∀△ABC，＝＝.真命题．
(2)∃x∈R，x2＋1＝0.假命题．
(3)∃四周体，是正四周体．真命题．
(4)∀长方体，其体对角线交于一点．真命题．
9．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并推断它们的真假．
(1)存在不相等的实数a，b，c，使得a，b，c既是等差数列，又是等比数列；
(2)对于一切x>1的实数，函数f(x)＝
log2≥1；
(3)方程x2－8x＋15＝0有一个根为奇数；
解　(1)是特称命题，且是假命题．
∵a，b，c既是等差数列，又是等比数列，
∴2b＝a＋c，b2＝ac.
∴(a＋c)2＝4b2＝4ac，即(a－c)2＝0.
∴a＝c，这与a≠c相冲突．
故不存在不相等的实数a，b，c，使得a，b，c既是等差数列又是等比数列．
(2)是全称命题，是真命题．
∵x>1，
∴x＋＋1＝x－1＋＋2≥2＋2＝4.
当且仅当x－1＝，
即x＝2时，等号成立．
又f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)＝log2(x＋＋1)≥log24＝2≥1，
故该命题是真命题．
(3)是特称命题，是真命题．
∵x＝3就是方程x2－8x＋15＝0的一个奇数根，
∴是真命题．
10．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．
解　∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.
∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实数根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2或a≥1.
又p∧q为真命题，∴p，q都为真命题，
∴
故a的取值范围是a≤－2或a＝1.