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其次章 第八节
一、选择题
1．假如函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2)
C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)
[答案] D
[解析] 由于f(＋x)＝f(－x)，所以二次函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故f(2)＝f(－1)，
又该函数在(－∞，)上递减，
所以f(0)<f(－1)<f(－2)，即f(0)<f(2)<f(－2)．
2．(2022·四川成都树德中学期中)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是( )
A．(0,4] B．[，3]
C．[，4] D．[，＋∞)
[答案] B
[解析] 二次函数y＝x2－3x－4的对称轴是x＝，开口向上，最小值是ymin＝－，在x＝处取得，所以由函数的值域是[－，－4]，可知m应当在对称轴的右边，当函数值是－4时，对应的自变量的值是x＝0或x＝3，假如m比3大，那么函数值就超出[－，－4]的范围，所以m的取值范围是[，3]．
3．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，其图象上两点的横坐标x1、x2满足x1<x2，且x1＋x2＝1－a，则有( )
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)<f(x2) D．f(x1)、f(x2)的大小不确定
[答案] C
[解析] f(x1)－f(x2)＝(ax＋2ax1＋4)－(ax＋2ax2＋4)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)．
又x1<x2，且x1＋x2＝1－a，∴a(x1－x2)·(x1＋x2＋2)＝a(x1－x2)(1－a＋2)＝a(3－a)(x1－x2)<0，即f(x1)－f(x2)<0，故选C．
4．(2021·温州模拟)方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为( )
A．(－，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[－，1] D．(－∞，－)
[答案] C
[解析] 令f(x)＝x2＋ax－2，由条件知，f(1)·f(5)≤0或∴－≤a≤1.
5．已知方程|x|－ax－1＝0仅有一个负根，则a的取值范围是( )
A．a<1 B．a≤1
C．a>1 D．a≥1
[答案] D
[解析] 数形结合推断．
6．函数f(x)＝ax2＋bx＋c与其导函数f ′(x)在同一坐标系内的图象可能是( )
[答案] C
[解析] 若二次函数f(x)的图象开口向上，则导函数f ′(x)为增函数，排解A；同理由f(x)图象开口向下，导函数f ′(x)为减函数，排解D；又f(x)单调增时，f ′(x)在相应区间内恒有f ′(x)≥0，排解B，故选C．
请练习下题：
设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 若a<0，则只能是A或B选项，A中－<0，∴b<0，从而c>0，与A图不符；B中－>0，∴b>0，∴c<0，与B图不符．若a>0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，当b>0时，有c>0与C、D图不符，当b<0时，有c<0，此时－>0，f(0)＝c<0，故选D．
二、填空题
7．已知关于x的函数f(x)＝x2－2x－3，若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)等于________．
[答案] －3
[解析] ∵二次函数f(x)＝x2－2x－3中，a＝1，b＝－2，c＝－3，∴由f(x1)＝f(x2)得，＝－＝1，
所以x1＋x2＝2，则f(x1＋x2)＝f(2)＝－3.
8．(2022·盐城模拟)若关于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－，2)
[解析] 在同一坐标系中画出函数f(x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|的图象，如图所示．
y＝2－x2是开口向下的抛物线，y＝|x－a|是与x轴交于(a,0)点的“V字形”折线，明显当a＝2时，y＝2－x2(x<0)的图象都在折线下方，由2－x2＝x－a得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4a＋8＝0得a＝－，此时y＝x－a与y＝2－x2(x<0)相切，故－<a<2.
9．(2022·辽宁沈阳质量监测)定义运算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为________．
[答案] 4
[解析] 由2x－x2≥0得0≤x≤2，
由“xy”的定义知，
当0≤x≤2时，f(x)＝x2≤4；
当x<0或x>2时，f(x)＝2x－x2<0，
∴f(x)的最大值为4.
三、解答题
10．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
[解析] 要使函数y＝lg(3－4x＋x2)有意义，应有3－4x＋x2>0，
解得x<1或x>3，∴M＝{x<1或x>3}．
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2，
令2x＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或0<t<2.
∴y＝4t－3t2＝－3(t－)2＋(t>8或0<t<2)，
由二次函数性质可知，
当0<t<2时，f(x)∈(－4，]；
当t>8时，f(x)∈(－∞，－160)；
当2x＝t＝，即x＝log2时，y＝.
综上可知，当x＝log2时，f(x)取到最大值为，无最小值．
一、选择题
11．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数的解析式为y＝2x2＋1，值域为{5,19,1}的“孪生函数”共有( )
A．4个 B．6个
C．8个 D．9个
[答案] D
[解析] 由2x2＋1＝1得x＝0；
由2x2＋1＝5得x＝±，
由2x2＋1＝19得x＝±3，
要使函数的值域为{5,19,1}，则上述三类x的值都要至少有一个，因此x＝0必需有，x＝±可以有一个，也可以有2个，共有三种情形，对于它的每一种情形，都对应x＝±3的三种情形，即定义域可以是{0，，3}，{0，，－3}，{0，，3，－3}，{0，－，3}，{0，－，－3}，{0，－，3，－3}，{0，，－，3}，{0，，－，－3}，{0，，－，3，－3}共9种，故选D．
12．(2022·江南十校联考)已知函数f(x)＝asinx－cos2x＋a－＋(a∈R，a≠0)，若对任意x∈R都有f(x)≤0，则a的取值范围是( )
A．[－，0) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(0,1] D．[1,3]
[答案] C
[解析] 化简函数得f(x)＝sin2x＋asinx＋a－，令t＝sinx(－1≤t≤1)，则g(t)＝t2＋at＋a－，问题转化为使g(t)在[－1,1]上恒有g(t)≤0，即解得0<a≤1，故选C．
13．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是( )
A．α<a<b<β B．a<α<β<b
C．a<α<b<β D．α<a<β<b
[答案] A
[解析] 设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A．
14．(2022·广东佛山南海质检)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y＝x－1，y＝x，y＝(x－1)2，y＝x3中有三个是增函数；②若logm3<logn3<0，则0<n<m<1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；④已知函数f(x)＝则方程f(x)＝有2个实数根．其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] ①y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝(x－1)2在(0,1)上单调减，∴①错；②对数函数y＝logax在0<a<1，x>1时底大图低，由于logm3<logn3<0，∴0<m<1,0<n<1，∴0<n<m<1，故②正确(或∵logm3<logn3<0，∴<<0；∴0>log3m>log3n，∴1>m>n>0)；③将f(x)的图象向右平移一个单位可得到f(x－1)的图象，∵奇函数f(x)的图象关于原点对称，∴f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，③正确；④f(x)＝化为或∴x＝2－log32，或x＝1＋，故④正确，选C．
二、填空题
15．(2022·江苏盐城期中)设函数f(x)＝x2＋(a－2)x－1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的最小值为________．
[答案] －2
[解析] 由条件知，≤2，∴a≥－2，
∴a的最小值为－2.
16．已知函数f(x)的自变量的取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．函数f(x)＝x2的形如[n，＋∞)(n∈(0，＋∞))的保值区间是________．
[答案] [1，＋∞)
[解析] 由于f(x)＝x2在[n，＋∞)(n∈(0，＋∞))上单调递增，所以f(x)在[n，＋∞)上的值域为[f(n)，＋∞)，若[n，＋∞)是f(x)的保值区间，则f(n)＝n2＝n，解得n＝1.
三、解答题
17．(2022·北京朝阳期中)已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.
(1)若函数f(x)在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)在[a＋1，a＋2]上的最大值为3，求a的值．
[解析] (1)由于函数y＝f(x)在R上至少有一个零点，所以方程x2－4x＋a＋3＝0至少有一个实数根，所以Δ＝16－4(a＋3)≥0，解得a≤1.
(2)∵f(x)＝(x－2)2＋a－1的对称轴为x＝2.
当a＋2<2，即a<0时，有f(a＋1)＝3，∴a＝.
当a＋1>2，即a>1时，有f(a＋2)＝3，∴a2＋a－4＝0，∴a＝，
当a＋1≤2≤a＋2，即0≤a≤1时，有f(2)＝a－1＝3，
∴a＝4冲突，综上知a＝或.
18．如图所示：图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图象，图2是函数g(x)＝loga(x＋b)的部分图象．
(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)假如函数y＝g[f(x)]在区间[1，m)上单调递减，求m的取值范围．
[解析] (1)由图1得，二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f(x)＝a(x－1)2＋2，
又函数f(x)的图象过点(0,0)，故a＝－2，
整理得f(x)＝－2x2＋4x.
由图2得，函数g(x)＝loga(x＋b)的图象过点(0,0)和(1,1)，
故有∴
∴g(x)＝log2(x＋1)(x>－1)．
(2)由(1)得y＝g[f(x)]＝log2(－2x2＋4x＋1)是由y＝log2t和t＝－2x2＋4x＋1复合而成的函数，而y＝log2t在定义域上单调递增，要使函数y＝g[f(x)]在区间[1，m)上单调递减，必需t＝－2x2＋4x＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立．
由t＝0得x＝，又t的图象的对称轴为x＝1.
所以满足条件的m的取值范围为1<m≤.
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