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其次章 第四节
一、选择题
1．(文)函数y＝x的图像是( )
[答案] B
[解析] 本题考查幂函数图像．
当x>1时x<x，排解C、D，
当0<x<1时x>x，排解A．
(理)如图所示函数图像中，表示y＝x的是( )
[答案] D
[解析] 由于∈(0,1)，所以y＝x的图像在第一象限图像上凸，又函数y＝x是偶函数，故图像应为D．
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中的( )
[答案] A
[解析] ∵a>b>c且a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0，b2－4ac>0，
∴图像开口向上，与y轴的截距为负，且过(1,0)点．
3．(文)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)>f(3)
B．f(3)>f(2)
C．f(3)＝f(2)
D．f(3)与f(2)的大小关系不确定
[答案] C
[解析] 由于f(x)满足f(4)＝f(1)，所以二次函数对称轴为x＝＝，又3－＝－2，即x＝3与x＝2离对称轴的距离相等，所以f(3)＝f(2)．
(理)若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则f(m＋1)的值为( )
A．正数 B．负数
C．非负数 D．与m有关
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝，
而－m，m＋1关于x＝对称，
∴f(m＋1)＝f(－m)<0，故选B．
4．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的外形一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
[答案] D
[解析] 设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.
5．幂函数f(x)＝xα(α是有理数)的图像过点(2，)，则f(x)的一个递减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，0)
[答案] B
[解析] ∵图像过(2，)，则＝2α，
∴α＝－2，∴f(x)＝x－2.
由y＝x－2图像可知f(x)的减区间是(0，＋∞)．
6．若f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是( )
A．(－，) B．(－，)
C．(，) D．[，]
[答案] C
[解析] 由题意，得解得<m<.
二、填空题
7．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________．
[答案] －3 9
[解析] f(x)＝2(x－)2－.
当x＝1时，f(x)min＝－3；
当x＝－1时，f(x)max＝9.
8．(文)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝________.
[答案]
[解析] f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，由幂函数f(x)的图像过点，得α＝，则k＋α＝.
(理)已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图像上，点(－，)在幂函数y＝g(x)的图像上，若f(x)＝g(x)，则x＝______.
[答案] ±1
[解析] 由题意，设y＝f(x)＝xα，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.
9．(文)若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝________.
[答案] 6
[解析] 二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图像关于直线x＝1对称，说明二次函数的对称轴为x＝1，即－＝1，所以a＝－4.而f(x)是定义在[a，b]上的，即a，b关于x＝1也是对称的，所以＝1，∴b＝6.
(理)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．
[答案] [0,2]
[解析] 依题意知，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且开口方向向上，f(0)＝f(2)，结合图像可知，不等式f(m)≤f(0)的解集是[0,2]．
三、解答题
10．如图，抛物线与直线y＝k(x－4)都经过坐标轴的正半轴上A、B两点，该抛物线的对称轴x＝－1与x轴相交于点C，且∠ABC＝90°，求：
(1)直线AB对应函数的解析式；
(2)抛物线的解析式．
[解析] (1)由已知及图形得：A(4,0)，B(0，－4k)，C(－1,0)，
又∵∠CBA＝∠BOC＝90°，∴OB2＝CO·AO.
∴(－4k)2＝1×4，∴k＝±.
又∵由图知k<0，∴k＝－.
∴所求直线的解析式为y＝－x＋2.
(2)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
则解得
∴所求抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2.
一、选择题
1．假如幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不过原点，则m的取值是( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1
C．m＝2 D．m＝1或m＝2
[答案] D
[解析] 由幂函数的定义，m2－3m＋3＝1，所以m＝1或m＝2.又图像不过原点，所以m2－m－2≤0，解得－1≤m≤2.综上，m＝1或m＝2.
2．(文)函数y＝(cosx－a)2＋1，当cosx＝a时有最小值，当cosx＝－1时有最大值，则a的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1,1]
C．(－∞，0] D．[0,1]
[答案] D
[解析] ∵函数y＝(cosx－a)2＋1，
当cosx＝a时有最小值，∴－1≤a≤1，
∵当cosx＝－1时有最大值，∴a≥0，∴0≤a≤1.
(理)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A． B．
C．[0,3] D．
[答案] B
[解析] f(x)＝x2－3x－4＝2－，
∴f＝－，又f(0)＝－4.
由题意结合函数的图像可得，解得≤m≤3.
二、填空题
3．(文)已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝________.
[答案] 2
[解析] ∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数，
f(x)max＝f(b)，∴f(b)＝b，∴b2－2b＋2＝b，
∴b2－3b＋2＝0，∴b＝2或1(舍)．
(理)已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值范围为________．
[答案] {1，－3}
[解析] ∵f(x)＝kx2－2kx＝k(x－1)2－k，
(1)当k>0时，二次函数开口向上，
当x＝3时，f(x)有最大值，
f(3)＝k·32－2k×3＝3k＝3⇒k＝1；
(2)当k<0时，二次函数开口向下，
当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝k－2k＝－k＝3⇒k＝－3.
故k的取值集合为{1，－3}．
4．(文)(2021·盐城模拟)给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f(x0)∈D，则称函数y＝f(x)在D上封闭．若定义域D＝(0,1)，则函数①f1(x)＝3x－1；②f2(x)＝－x2－x＋1；③f3(x)＝1－x；④f4(x)＝x，其中在D上封闭的是________．(填序号即可)
[答案] ②③④
[解析] ∵f1()＝0∉(0,1)，∴f1(x)在D上不封闭，阅历证②③④均满足条件．
(理)方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________．
[答案] (2，)
[解析] ∵∴m＝β＋，
∵β∈(1,2)且函数m＝β＋在(1,2)上是增加的，
∴1＋1<m<2＋，即m∈(2，)．
三、解答题
5．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－A．
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增加的，
故⇒⇒
当a<0时，f(x)在[2,3]上为削减的，
故⇒⇒
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，
∴≤2或≥4，∴m≤2或m≥6.6.(文)是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
[解析] f(x)＝(x－a)2＋a－a2.
当a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，
∴⇒a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，⇒a＝－1；
当0<a≤1时，⇒a不存在；
当a>1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，
∴⇒a不存在．
综上可得，存在这样的实数a，且a＝－1.
(理)(创新题)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，
∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
即f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3A． ①
由f(x)＋6a＝0，得
ax2－(2＋4a)＋9a＝0. ②
∵方程②有两个相等的根，
∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.
由于a<0，故舍去a＝1，将a＝－代入①，
得f(x)＝－x2－x－.
(2)f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a
＝a2－.
由a<0，可得f(x)的最大值为－>0，
由
解得a<－2－或－2＋<a<0.
故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．
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