高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章-拓展资料：定积分与曲边梯形的面积.docx

定积分与曲边梯形的面积
我们知道定积分的几何意义：当函数在区间[a,b]上恒为正时，定积分的几何意义是以曲线为曲边梯形的面积.一般状况下，定积分的几何意义是介于x轴、函数的图象以及直线x=a、x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.所以求曲边梯形的面积是定积分在几何中的重要应用，把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想．求解此类题经常用到以下技巧．
一、巧选积分变量
求平面图形面积时，要留意选择积分变量，以使计算简便．
例1 求抛物线与直线围成的平面图形的面积．
解析：如图1，解方程组得两曲线的交点为、．
方法一：选取横坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积应当是两部分之和，即

．
方法二：选取纵坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即
　　．
点评：从上述两种解法可以看出，对积分比对积分计算简捷．因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的．但同时也要留意对积分时，积分函数应是，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为、的形式，然后求得积分．另外还要留意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会转变．
二、巧用对称性
在求平面图形面积时，利用函数所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段．
例2 求由三条曲线，，所围图形的面积．
解析：如图2，由于，是偶函数，依据对称性，只算出轴右边的图形的面积再两倍即可．
解方程组和得交点坐标、、、．
方法一：选择为积分变量，则
．
方法二：可以选择为积分变量，求解过程请同学们自己完成．
点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度．
三、分割计算
例3　求由抛物线及其在点和点处两条切线所围成的图形的面积．
解析：由，得，
∴，过点的切线方程为；
，过点的切线方程为．
又可求得两切线交点的横坐标为，故所求面积
．
点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作轴的垂线，将图形分割成两部分，分别用定积分求解．同学们应留意把握这种分割的处理方法．