资源描述
1．(2021·安庆模拟)在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．1∶∶2 D．2∶∶1
解析：选C.∵sin C＝1，∴C＝，
由于A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.
2．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝，则C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由正弦定理得＝，
∴sin B＝，
∵a>b，∴0<B<，∴B＝.
∴C＝π－(A＋B)＝π－(＋)＝.
3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形确定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
解析：选C.由于a＝2bcos C，所以由余弦定理得
a＝2b×，整理得b2＝c2，所以b＝c.
所以此三角形确定是等腰三角形．
4．(2021·东北三校高三模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，sin C＝3sin B，且S△ABC＝，则b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．3
解析：选A.∵cos A＝，∴sin A＝.
又S△ABC＝bcsin A＝，∴bc＝3.又sin C＝3sin B，
∴c＝3b，∴b＝1，c＝3，故选A.
5．(2021·河北石家庄质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，sin A、sin B、sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由于sin A、sin B、sin C成等比数列，所以sin2B＝sin Asin C，由正弦定理得b2＝ac.又c＝2a，故cos B＝＝＝.
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________．
解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，∴b＝4.
答案：4
7．(2021·龙岩质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2a，C＝，则△ABC的周长是________．
解析：由22＝a2＋(2a)2－2a·2acos ，得a＝，
∴△ABC的周长为a＋2a＋2＝3×＋2＝2＋2.
答案：2＋2
8．(2022·高考广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________．
解析：法一：由于bcos C＋ccos B＝2b，
所以b·＋c·＝2b，
化简可得＝2.
法二：由于bcos C＋ccos B＝2b，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B，
故sin(B＋C)＝2sin B，
故sin A＝2sin B，则a＝2b，即＝2.
答案：2
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解：(1)由bsin A＝acos B及正弦定理＝，
得sin B＝cos B.
所以tan B＝，所以B＝.
(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试推断△ABC的外形．
解：(1)∵c＝2，C＝，
∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得a2＋b2－ab＝4.
又∵△ABC的面积为，
∴absin C＝，ab＝4.
联立方程组
解得a＝2，b＝2.
(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，
得sin(A＋B)＋sin(B－A)
＝2sin Acos A，
即2sin Bcos A＝2sin Acos A，
∴cos A·(sin A－sin B)＝0，
∴cos A＝0或sin A－sin B＝0，
当cos A＝0时，∵0<A<π，
∴A＝，△ABC为直角三角形；
当sin A－sin B＝0时，得sin B＝sin A，由正弦定理得a＝b，
即△ABC为等腰三角形．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
1．如图所示，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为( )
A．8 B．9
C．14 D．8
解析：选A.在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴BC＝·sin 30°＝8.
2．(2021·衡水中学其次学期调研)设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为( )
A．(，) B．(1，)
C．(，2) D．(0，2)
解析：选A.∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A，
∴sin B＝2sin Acos A，∴b＝2acos A，
又∵a＝1，∴b＝2cos A.
∵△ABC为锐角三角形，
∴0<A<，0<B<，0<C<，
即 0<A<，0<2A<，0<π－A－2A<，
∴<A<，∴<cos A<，
∴<2cos A<，∴b∈(，)．
3．在△ABC中，b＝ccos A＋asin C，则角C的大小为________．
解析：∵b＝ccos A＋asin C，
由余弦定理得b＝c·＋asin C.
即b2＋a2－c2＝2absin C.
∴2abcos C＝2absin C，
即tan C＝.又0<C<π，∴C＝.
答案：
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，a＝，若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为____________．
解析：如图1所示，当a＝bsin A，即＝bsin ，b＝2时，△ABC为直角三角形，只有一个解；如图2所示，当a≥b时，即0<b≤时，三角形有且只有一个．所以b的取值范围为(0，]∪{2}．
答案：(0，]∪{2}
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－acos C＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，S△ABC＝，试推断△ABC的外形，并说明理由．
解：(1)法一：由(2b－c)cos A－acos C＝0及正弦定理，得(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，
∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，
sin B(2cos A－1)＝0.
∵0<B<π，∴sin B≠0，∴cos A＝.
∵0<A<π，∴A＝.
法二：由(2b－c)cos A－acos C＝0及余弦定理，
得(2b－c)·－a·＝0，
整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，
∵0<A<π，∴A＝.
(2)△ABC为等边三角形．
∵S△ABC＝bcsin A＝，
即bcsin ＝，
∴bc＝3， ①
∵a2＝b2＋c2－2bccos A，a＝，A＝，
∴b2＋c2＝6， ②
由①②得b＝c＝，∴△ABC为等边三角形．
6．(选做题)△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，面积为S.满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求C的值；
(2)若a＋b＝4，求周长的范围与面积S的最大值．
解：(1)∵S＝(a2＋b2－c2)，
∴absin C＝·2abcos C，
即tan C＝，又0<C<π，∴C＝.
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，
又a＋b＝4.
∴c2＝a2＋(4－a)2－a(4－a)
＝3a2－12a＋16
＝3(a－2)2＋4，
由a＋b＝4，a>0，b>0知0<a<4.
∴4≤c2<16，∴2≤c<4.
∴周长a＋b＋c∈[6，8)．
又由a＋b＝4，知4≥2，
当且仅当a＝b时取等号．
∴ab≤4，
∴S＝absin C≤×4×＝，
即当a＝b＝2时，Smax＝.
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