2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第四章-第三节平面向量的数量积.docx

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课时提升作业(二十七)
一、选择题
1.有下列四个命题：
①(a·b)2＝a2·b2；②|a＋b|>|a－b|；③|a＋b|2＝(a＋b)2；④若a∥b，则a·b＝|a|·|b|.其中真命题的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.(2022·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是( )
(A)a∥b (B)a⊥b (C)|a|=|b| (D)a+b=a-b
3.在平面直角坐标系xOy中作矩形OABC,已知|OA|=4,|AB|=3,则的值为
( )
(A)0 (B)7 (C)25 (D)-7
4.(2021·福州模拟)已知向量a=(1,1),b=(2,0)，则向量a,b的夹角为( )
(A) (B)
(C) (D)
5.在△ABC中，则AB边的长度为( )
(A)1 (B)3 (C)5 (D)9
6.(2021·重庆模拟)已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a·b=0，若向量c与a-b共线，则|a+c|的最小值为( )
(A)1 (B) (C) (D)2
7.(2021·三明模拟)在△ABC中,M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足则的值为( )
(A)-4 (B)-2
(C)2 (D)4
8.已知O是△ABC内部一点，且∠BAC=30°，则△AOB的面积为( )
(A)2 (B)1 (C) (D)
9.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边，向量m=(,-1),n=(cos A,
sin A)．若m⊥n，且acos B+bcos A=csin C，则角A,B的大小分别为( )
(A), (B),
(C), (D),
10.(力气挑战题)如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B.且，则向量的坐标为( )

(A)() (B)()
(C)() (D)()
二、填空题
11.已知平面对量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则=
_________.
12.(2021·南平模拟)如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是________.
13.(2021·杭州模拟)以下命题：①若|a·b|=|a|·|b|，则a∥b；②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影为③若△ABC中，a=5,b=8,c=7，则④若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.其中全部真命题的序号是_________.
14.(力气挑战题)给定两个长度为1的平面对量和它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若其中x,y∈R,则xy的范围是______.
三、解答题
15.(2021·晋中模拟)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，
(1)求D点的坐标.
(2)若D点在其次象限，用表示.
(3)设＝(t,2)，若与垂直，求的坐标.

答案解析
1.【解析】选A.①(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≤|a|2·|b|2＝a2·b2；
②|a＋b|与|a－b|大小不确定；
③正确；
④a∥b，当a,b同向时有a·b＝|a|·|b|；当a，b反向时有a·b＝-|a|·|b|.故不正确.
2.【思路点拨】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系.
【解析】选B.|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2⇒a·b=0⇒a⊥b.
【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为那么下列结论中确定成立的是( )
(A)a=b (B)|a|=|b|
(C)a⊥b (D)a∥b
【解析】选B.由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0，故可得|a|=|b|.
3.【解析】选D.=-7.
4. 【解析】选C.cos〈a,b〉=
∴〈a,b〉=
5.【思路点拨】依据数量积的定义计算，并结合解三角形的学问得到结果.
【解析】选B.过点C作AB的垂线，垂足为D.
由条件得同理BD=2.
故AB=AD+DB=3.
6.【解析】选B.由于c与a-b共线，且a-b≠0，所以设c=λ(a-b)(λ∈R)，于是a+c=a+λ(a-b)=(λ+1)a-λb，所以|a+c|==
=,因此当λ=时，|a+c|取最小值.
7.【解析】选A. =2×2×1×cos π=-4.
8.【解析】选D.由得O为△ABC的重心,∴
又
得
∴.
9.【解析】选C.由m⊥n可得m·n=0，
即cos A-sin A=0，所以A=.
又acos B+bcos A=csin C知c=csin C,则sin C=1，所以C=,由B=-C可得B=.
10.【解析】选B.依题意设B(cos θ,sin θ),0≤θ≤π.
则=(1,1),=(cos θ,sin θ).
由于⊥,所以·=0,
即cos θ+sin θ=0,解得θ=,
所以=().
【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ是解题的关键，进而可利用三角函数的定义求得点B的坐标，可将问题转化为向量的坐标运算问题来解决.
11．【思路点拨】依据条件求出向量的夹角，进而寻求向量坐标间的关系，化简求值即可.
【解析】设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ=-6,
∴cos θ=-1,∴θ=180°.
即a,b共线且反向.
又∵|a|=2,|b|=3,
∴a=b,x1=x2,y1=y2,
∴.
答案：
12.【思路点拨】设PO=x(0≤x≤3)，运用向量的数量积转化为函数学问求解.
【解析】设PO=x，则PC=3-x(0≤x≤3)，
则
∵0≤x≤3,
∴当时，有最小值
答案:
13.【解析】①中，由|a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|,知cos〈a,b〉=±1，故〈a,b〉=0或〈a,b〉=π，所以a∥b，故正确;②中a在b方向上的投影为故正确；③中，由余弦定理得故故错误.④中，由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|
=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故错误.
答案:①②
14.【解析】由得

又
∴得
而点C在以O为圆心的圆弧上运动,得x,y∈［0,1］,于是0≤xy≤
答案:［0,］
15.【解析】(1)设D(x，y)，＝(1,2)，＝(x＋1，y).
由题得

∴D点的坐标为(－2,3)或(2,1).
(2)∵D点在其次象限，∴D(－2,3).
∴＝(－1,3).∵＝(－2,1)，
设＝m＋n，
则(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)，
∴
∴＝－＋.
(3)∵
∵与垂直，∴
∴t＋14＝0,∴t＝－14,∴＝(－14,2).
【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2)，又点A(8,0)，B(n,t),C(ksin θ,t)(0≤θ≤).
(1)若⊥a,且(O为坐标原点),求向量
(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值4时,求
【解析】(1)可得=(n-8,t),
∵⊥a,∴·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,
得n=2t+8,
则=(2t,t).
又
∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,
当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.
∴=(24,8)或=(-8,-8).
(2)∵向量与向量a共线,
∴t=-2ksin θ+16,
tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ
=
∵k>4,∴0<<1,故当sin θ=时,tsin θ取最大值有得k=8.
这时,sin θ=k=8,tsin θ=4,得t=8,
则=(4,8),
∴=(8,0)·(4,8)=32.
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